不停抛掷硬币直至连续3次出现正面，此时抛的硬币枚数期望值为多少？

不停抛掷硬币直至连续3次出现正面，此时抛的硬币枚数期望值为14次。2

📊 期望值的定义与计算

• 期望值的定义：在概率论和统计学中，期望值（或数学期望、均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。3

• 计算方法：对于抛硬币问题，期望值的计算通常涉及马尔可夫链或递归方程。具体来说，假设期望值为 $ E $，我们可以通过考虑每次抛掷的结果来建立递归关系。例如，如果第一次抛掷是反面，那么我们需要重新开始计算，这相当于增加了1次抛掷。如果第一次抛掷是正面，但第二次抛掷是反面，我们需要增加2次抛掷，依此类推。通过这种递归关系，我们可以解出期望值。4

🧩 递归方程的建立

• 递归方程：假设期望值为 $ E $，我们可以建立以下递归方程： $ E = 1 + \frac{1}{2}E + \frac{1}{4}(E + 1) + \frac{1}{8}(E + 2) $ 这里，1表示第一次抛掷，$\frac{1}{2}E$ 表示第一次抛掷是反面的情况，$\frac{1}{4}(E + 1)$ 表示第一次抛掷是正面但第二次抛掷是反面的情况，$\frac{1}{8}(E + 2)$ 表示前两次抛掷是正面但第三次抛掷是反面的情况。5

• 解方程：通过解这个方程，我们可以得到期望值 $ E $ 的具体数值。具体解法如下： $ E = 1 + \frac{1}{2}E + \frac{1}{4}(E + 1) + \frac{1}{8}(E + 2) $ 化简后得到： $ E = 1 + \frac{1}{2}E + \frac{1}{4}E + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}E + \frac{1}{4} $ 进一步化简： $ E = 1 + \frac{7}{8}E + \frac{3}{4} $ 移项得到： $ \frac{1}{8}E = 1 + \frac{3}{4} $ 最终得到： $ E = 8 \times \left(1 + \frac{3}{4}\right) = 8 \times \frac{7}{4} = 14 $ 因此，期望值为14次。2

🛠️ 实际应用与操作步骤

• 实际应用：在实际应用中，期望值的概念可以帮助我们理解和预测随机事件的平均结果。例如，在赌博、投资或生产过程中，了解期望值可以帮助我们做出更理性的决策。1

• 操作步骤：

  1. 定义问题：明确需要计算期望值的具体问题，例如抛硬币直至连续3次出现正面。
  2. 建立递归方程：根据问题的具体情况，建立递归方程来描述每次抛掷的结果及其概率。
  3. 解方程：通过代数方法解递归方程，得到期望值的具体数值。
  4. 验证结果：通过模拟或其他方法验证计算结果的准确性。3

通过以上步骤，我们可以准确计算出不停抛掷硬币直至连续3次出现正面的期望值为14次。2