有一个自然数除以5的余数是2，除以4的余数是3，请问这个自然数除以8的余数是多少?

要解决这个问题，我们可以使用中国剩余定理，这是一个解决一组线性同余方程的数学工具。在这个问题中，我们有两个同余方程：

1. $a \equiv 2 \mod 5$（除以5的余数是2）
2. $a \equiv 3 \mod 4$（除以4的余数是3）

我们需要找到一个数 $a$，它同时满足上述两个条件。根据中国剩余定理，这样的 $a$ 存在，并且是唯一的模 $5 \times 4 = 20$。

首先，我们计算 $5$ 和 $4$ 的乘积，即 $20$，然后找到满足上述条件的最小正整数 $a$。

由于 $a$ 除以 $5$ 的余数是 $2$，我们可以写出 $a = 5k + 2$，其中 $k$ 是一个整数。

接下来，我们需要找到一个 $k$ 值，使得 $a$ 也满足除以 $4$ 的余数是 $3$ 的条件。我们可以将 $a$ 表达式代入第二个同余方程中：

$5k + 2 \equiv 3 \mod 4$

为了找到 $k$，我们可以试验不同的 $k$ 值，直到找到一个满足上述条件的 $k$。通过试验，我们可以发现当 $k = 1$ 时：

$5(1) + 2 = 7$

$7 \mod 4 = 3$

所以，$a = 7$ 是一个满足前两个条件的数。但是，我们需要找到的是除以 $8$ 的余数。由于 $7$ 除以 $8$ 的余数是 $7$，我们可以通过增加 $20$ 的倍数来找到满足所有三个条件的 $a$。

由于 $20$ 是 $5$ 和 $4$ 的最小公倍数，任何 $20$ 的倍数除以 $5$ 或 $4$ 的余数都将是 $0$。因此，我们需要找到一个最小的 $20$ 的倍数，使得加上 $7$ 后除以 $8$ 的余数是 $7$。

我们可以通过试验来找到这个数。例如，$20 + 7 = 27$，但是 $27$ 除以 $8$ 的余数是 $3$，这不是我们要找的数。我们继续增加 $20$ 的倍数，直到找到一个满足条件的数。

通过试验，我们可以发现 $40 + 7 = 47$，而 $47$ 除以 $8$ 的余数是 $7$。因此，满足所有条件的 $a$ 是 $47$。

所以，这个自然数除以 $8$ 的余数是 $7$。18