如图所示车辆，假设可视其为只有竖向振动的单自由系统。车辆满载质量为1200kg；空载质量为400kg；竖向有效弹簧刚度k=400kN/m；假设竖向振动阻尼系数C不变，且满载时的阻尼比ξ=0.4。设车辆水平行驶速度为100km/h，通过波长为4m、起伏高度为Z的正弦路面（假设Z<<4m），且轮胎始终不脱离地面，试求满载与空载时厢体竖向振幅相对起伏高度Z的放大倍数。

满载与空载时厢体竖向振幅相对起伏高度Z的放大倍数分别为1.67和1.33。12

计算过程

• 满载情况：

  • 车辆质量 $ m_1 = 1200 $ kg
  • 弹簧刚度 $ k = 400 $ kN/m
  • 阻尼比 $ \xi = 0.4 $
  • 阻尼系数 $ C = 2 \xi \sqrt{km_1} = 2 \times 0.4 \times \sqrt{400 \times 10^3 \times 1200} = 9600 $ N·s/m
  • 固有频率 $ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m_1}} = \sqrt{\frac{400 \times 10^3}{1200}} = \frac{100}{3} $ rad/s
  • 激励频率 $ \omega = \frac{2\pi v}{\lambda} = \frac{2\pi \times 100 \times 10^3}{3600 \times 4} = \frac{25\pi}{9} $ rad/s
  • 放大倍数 $ \beta = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2 + (2\xi \frac{\omega}{\omega_n})^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\frac{25\pi}{9 \times 100/3})^2)^2 + (2 \times 0.4 \times \frac{25\pi}{9 \times 100/3})^2}} \approx 1.67 $

• 空载情况：

  • 车辆质量 $ m_2 = 400 $ kg
  • 弹簧刚度 $ k = 400 $ kN/m
  • 阻尼系数 $ C = 9600 $ N·s/m
  • 固有频率 $ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m_2}} = \sqrt{\frac{400 \times 10^3}{400}} = 100 $ rad/s
  • 激励频率 $ \omega = \frac{25\pi}{9} $ rad/s
  • 放大倍数 $ \beta = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2 + (2\xi \frac{\omega}{\omega_n})^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\frac{25\pi}{9 \times 100})^2)^2 + (2 \times 0.4 \times \frac{25\pi}{9 \times 100})^2}} \approx 1.33 $

结果分析

• 满载与空载对比：
  • 满载时，车辆质量较大，固有频率较低，放大倍数较高。
  • 空载时，车辆质量较小，固有频率较高，放大倍数较低。

结论

满载时厢体竖向振幅相对起伏高度Z的放大倍数为1.67，空载时为1.33。12