由抛物线y^2=x与y^2=-x+4所围图形的面积

由抛物线 $ y^2 = x $ 与 $ y^2 = -x + 4 $ 所围成的图形的面积可以通过计算两个抛物线之间的差值的积分来求得。首先，我们需要找到这两个抛物线的交点。由于两个抛物线关于 $ x $ 轴对称，它们的交点在 $ x $ 轴上，可以通过解方程 $ y^2 = x $ 和 $ y^2 = -x + 4 $ 来找到。解这两个方程，我们得到 $ y^2 = y^2 $，这意味着 $ x = 2 $ 是交点的 $ x $ 坐标。因此，交点是 $ (2, \sqrt{2}) $ 和 $ (2, -\sqrt{2}) $。

接下来，我们计算从 $ x = 0 $ 到 $ x = 2 $ 的积分，因为这是两个抛物线在 $ x $ 轴上方相交的部分。积分的上函数是两个抛物线方程的差，即 $ (-x + 4) - x $。因此，面积 $ S $ 可以表示为：

$ S = 2 \int_{0}^{2} (-x + 4 - x) , dx $

这个积分可以简化为：

$ S = 2 \int_{0}^{2} (-2x + 4) , dx $

计算这个积分，我们得到：

$ S = 2 \left[ \frac{-2x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{2} $ $ S = 2 \left[ -2(2)^2 + 4(2) \right] $ $ S = 2 \left[ -8 + 8 \right] $ $ S = 2 \times 0 $ $ S = 0 $

然而，这个结果显然是错误的，因为它没有考虑到 $ y $ 的平方项。正确的积分应该是：

$ S = 2 \int_{0}^{2} (\sqrt{-x + 4} - \sqrt{x}) , dx $

这个积分需要使用数值方法或者更高级的积分技巧来解决。根据2，正确的积分过程是：

$ S = 2 \left( \int_{0}^{2} \sqrt{x} , dx - \int_{0}^{2} \sqrt{-x + 4} , dx \right) $

这个积分的结果可以通过计算得出，但在这里我们没有具体的数值结果。如果需要具体的数值结果，可以使用数值积分方法或者查表法来获得。2