求曲面z=x*x+y*y在点（3,4,25）处的切平面方程和法线方程

要求曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(3, 4, 25)$ 处的切平面方程和法线方程，我们首先需要求出该曲面在给定点的法向量。根据微积分的知识，曲面在某点的法向量可以通过求函数的梯度来获得。

首先，我们设 $F(x, y, z) = z - x^2 - y^2 = 0$，这样曲面 $z = x^2 + y^2$ 就可以表示为 $F(x, y, z) = 0$ 的形式。接下来，我们求函数 $F$ 关于 $x$，$y$ 和 $z$ 的偏导数：

$F_x = -2x, \quad F_y = -2y, \quad F_z = 1$

在点 $(3, 4, 25)$ 处，梯度 $\nabla F$ 为：

$\nabla F(3, 4, 25) = (-2 \cdot 3, -2 \cdot 4, 1) = (-6, -8, 1)$

这个向量 $(-6, -8, 1)$ 就是曲面在点 $(3, 4, 25)$ 处的法向量，同时也是切平面的法向量。

有了法向量，我们可以写出切平面方程。切平面方程的一般形式是 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $(A, B, C)$ 是法向量，$D$ 是常数。将法向量和点 $(3, 4, 25)$ 代入，我们得到：

$-6(x - 3) - 8(y - 4) + 1(z - 25) = 0$ $6x + 8y - z - 39 = 0$

这就是曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(3, 4, 25)$ 处的切平面方程。

法线方程则是通过将切平面方程中的 $x$ 和 $y$ 固定，解出 $z$ 来得到的。例如，如果我们固定 $x = 3$ 和 $y = 4$，那么法线方程就是：

$z = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 - 39$ $z = 25$

因此，曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(3, 4, 25)$ 处的法线方程是 $z = 25$。12346789