求矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$过点M（1，2，3）的矢量线方程
理解问题求矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$过点M（1，2，3）的矢量线方程
已完成理解「求矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$过点M（1，2，3）的矢量线方程」
展开阅读网页
矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$的矢量线方程可以通过参数化方法求得。78 首先，设矢量线上的点为$M(x, y, z)$，矢量线方程可表示为$x = x(t), y = y(t), z = z(t)$。12 由于矢量线在每点的切线方向与场矢量$A$的方向相同，我们有： $\frac{dx}{dt} = x, \frac{dy}{dt} = y, \frac{dz}{dt} = 2z$。11 给定点M(1, 2, 3)，代入上述方程，得到： $x(t) = x_0 e^t, y(t) = y_0 e^t, z(t) = \frac{z_0}{2} e^{2t}$，其中$x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 3$。3 因此，矢量线方程为： $x = e^t, y = 2e^t, z = \frac{3}{2}e^{2t}$。3
矢量线方程可以通过求解微分方程得到。对于矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$，其在点M(1,2,3)的矢量线方程可以通过以下步骤求得。
矢量线方程求解
- 矢量场定义：矢量线是矢量场中每一点都与该点的场矢量相切的曲线。1
- 矢量场表达式：给定矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$，其中$\mathbf{e}_x$, $\mathbf{e}_y$, $\mathbf{e}_z$分别是x, y, z方向的单位向量。2
- 矢量线方程：矢量线方程可以通过求解微分方程$\frac{dx}{\mathbf{e}_x x} = \frac{dy}{\mathbf{e}_y y} = \frac{dz}{\mathbf{e}_z 2z}$得到。3
- 初始条件：矢量线经过点M(1,2,3)，即当$(x, y, z) = (1, 2, 3)$时，矢量线方程应满足此条件。
微分方程求解
- 方程求解：将矢量场$A$代入微分方程，得到$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{dz}{2z}$。11
- 分离变量：对方程进行分离变量，得到$\ln|x| = \ln|y| + \ln|2z| + C$，其中C为积分常数。12
- 指数化：对上述方程指数化，得到$\frac{x}{y} = 2z + C'$，其中$C'$是另一个积分常数。12
矢量线方程
- 最终方程：将初始条件$(x, y, z) = (1, 2, 3)$代入，解得$C' = -4$，因此矢量线方程为$\frac{x}{y} = 2z - 4$。12
综上所述，矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$过点M(1,2,3)的矢量线方程为$\frac{x}{y} = 2z - 4$。