求矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$过点M（1，2，3）的矢量线方程

矢量线方程可以通过求解微分方程得到。对于矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$，其在点M(1,2,3)的矢量线方程可以通过以下步骤求得。

矢量线方程求解

• 矢量场定义：矢量线是矢量场中每一点都与该点的场矢量相切的曲线。1
• 矢量场表达式：给定矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$，其中$\mathbf{e}_x$, $\mathbf{e}_y$, $\mathbf{e}_z$分别是x, y, z方向的单位向量。2
• 矢量线方程：矢量线方程可以通过求解微分方程$\frac{dx}{\mathbf{e}_x x} = \frac{dy}{\mathbf{e}_y y} = \frac{dz}{\mathbf{e}_z 2z}$得到。3
• 初始条件：矢量线经过点M(1,2,3)，即当$(x, y, z) = (1, 2, 3)$时，矢量线方程应满足此条件。

微分方程求解

• 方程求解：将矢量场$A$代入微分方程，得到$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{dz}{2z}$。11
• 分离变量：对方程进行分离变量，得到$\ln|x| = \ln|y| + \ln|2z| + C$，其中C为积分常数。12
• 指数化：对上述方程指数化，得到$\frac{x}{y} = 2z + C'$，其中$C'$是另一个积分常数。12

矢量线方程

• 最终方程：将初始条件$(x, y, z) = (1, 2, 3)$代入，解得$C' = -4$，因此矢量线方程为$\frac{x}{y} = 2z - 4$。12

综上所述，矢量场$A = \mathbf{e}_x x + \mathbf{e}_y y + \mathbf{e}_z 2z$过点M(1,2,3)的矢量线方程为$\frac{x}{y} = 2z - 4$。