计算下列对坐标的曲线积分,(1) fL(x^2-y^2)dx,其中L是抛物线y=x^2上点(0,0)...

根据您提供的信息，我们需要计算曲线积分 $\int_L (x^2 - y^2) \, dx$，其中 $L$ 是抛物线 $y = x^2$ 上从点 $(0, 0)$ 到点 $(2, 4)$ 的一段弧。为了解决这个问题，我们首先需要确定积分的参数化表示，然后代入 $x^2 - y^2$ 并计算定积分。

首先，抛物线 $y = x^2$ 可以参数化为 $x = t$ 和 $y = t^2$，其中 $t$ 是参数，且 $t$ 的取值范围是从 $0$ 到 $2$。这样，我们可以得到曲线 $L$ 的参数化表示为 $L(t) = (t, t^2)$。

接下来，我们需要计算曲线 $L$ 上的微分元素 $ds$。根据曲线积分的定义，$ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} \, dt$。由于 $y = x^2$，我们有 $dy/dx = 2x$。因此，$ds = \sqrt{1 + (2t)^2} \, dt = \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$。

现在，我们可以将 $x^2 - y^2$ 替换为 $t^2 - t^4$ 并代入 $ds$，得到积分表达式： $\int_L (x^2 - y^2) \, dx = \int_0^2 (t^2 - t^4) \sqrt{1 + 4t^2} \, dt.$

这个积分需要数值方法或者特殊的积分技巧来解决，因为它不是一个基本的积分形式。然而，根据您提供的信息，我们没有具体的积分结果。如果您需要具体的数值结果，可能需要使用数值积分方法或者查表法来获得。

总结来说，计算曲线积分 $\int_L (x^2 - y^2) \, dx$ 的过程包括：

1. 参数化抛物线 $y = x^2$。
2. 计算微分元素 $ds$。
3. 代入 $x^2 - y^2$ 并用参数 $t$ 表示。
4. 计算定积分 $\int_0^2 (t^2 - t^4) \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$。578