编写C++程序，实现矩阵的加法和乘法，并且检查两个矩阵是否可以进行这些运算。

编写C++程序实现矩阵的加法和乘法，以及检查两个矩阵是否可以进行这些运算，需要考虑以下几个方面：

1. 矩阵的存储：在C++中，矩阵通常可以表示为二维数组或使用向量容器。对于稀疏矩阵，可以使用三元组顺序表示，并通过链式存储结构如“十字链表法”来优化存储13。

2. 矩阵加法：矩阵加法要求参与运算的矩阵行数和列数必须相等。加法运算是通过对应位置的元素相加来实现的3。在编写程序时，需要先检查两个矩阵的维度是否一致，然后进行元素的加法运算。

3. 矩阵乘法：矩阵乘法涉及到线性变换的概念，需要通过三层嵌套循环来实现，其中最内层循环计算点积8。在进行乘法之前，需要检查第一个矩阵的列数是否与第二个矩阵的行数相等，这是矩阵乘法能够进行的前提条件。

4. 运算符重载：为了简化矩阵运算的表示，可以通过重载加法+和乘法*运算符来实现矩阵的加法和乘法7。同时，可以重载流插入运算符<<和流提取运算符>>来方便矩阵的输入和输出47。

5. 性能优化：矩阵计算是计算密集型任务，且数据量大，容易造成访存瓶颈5。在实现时，可以考虑优化算法以减少对内存带宽的需求，例如通过数据重用等策略。

6. 检查矩阵维度：在进行加法和乘法运算之前，必须检查矩阵的维度是否满足相应的条件。对于加法，需要行数和列数完全一致；对于乘法，第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相等。

下面是一个简化的C++程序示例，展示如何实现矩阵加法和乘法，并进行维度检查：

#include <iostream>
#include <vector>

class Matrix {
private:
    std::vector<std::vector<int>> data;
public:
    Matrix(int rows, int cols) : data(rows, std::vector<int>(cols, 0)) {}
    
    void add(const Matrix& other) {
        if (data.size() == other.data.size() && data[0].size() == other.data[0].size()) {
            for (int i = 0; i < data.size(); ++i) {
                for (int j = 0; j < data[i].size(); ++j) {
                    data[i][j] += other.data[i][j];
                }
            }
        } else {
            std::cerr << "Matrix dimensions do not match for addition." << std::endl;
        }
    }
    
    Matrix multiply(const Matrix& other) {
        if (data[0].size() == other.data.size()) {
            Matrix result(data.size(), other.data[0].size());
            for (int i = 0; i < data.size(); ++i) {
                for (int j = 0; j < other.data[0].size(); ++j) {
                    for (int k = 0; k < data[0].size(); ++k) {
                        result.data[i][j] += data[i][k] * other.data[k][j];
                    }
                }
            }
            return result;
        } else {
            std::cerr << "Matrix dimensions do not match for multiplication." << std::endl;
            return Matrix(0, 0); // Return an empty matrix
        }
    }
    
    friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const Matrix& m) {
        for (const auto& row : m.data) {
            for (int val : row) {
                os << val << " ";
            }
            os << std::endl;
        }
        return os;
    }
    
    // Additional methods for input and other functionalities can be added here
};

int main() {
    Matrix A(2, 3); // 2x3 matrix
    Matrix B(2, 3); // Another 2x3 matrix
    Matrix C(3, 2); // 3x2 matrix, for multiplication example

    // Perform addition
    A.add(B);
    std::cout << "Result of addition:" << std::endl;
    std::cout << A << std::endl;

    // Perform multiplication
    Matrix D = A.multiply(C);
    std::cout << "Result of multiplication:" << std::endl;
    std::cout << D << std::endl;

    return 0;
}

请注意，这个示例