等比公式
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等比数列是一个在数学中常见的数列,其中每一项与其前一项的比值是一个常数,这个常数被称为公比,通常用字母 $ q $ 表示。以下是等比数列的一些基本公式和性质:
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等比数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数 $ q $,那么这个数列就是等比数列2。
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等比数列的通项公式:等比数列的第 $ n $ 项可以表示为 $ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} $,其中 $ a_1 $ 是数列的第一项15。
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等比数列的求和公式:等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 可以通过以下公式计算:
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等比中项的性质:如果 $ G $ 是等比数列中 $ a $ 和 $ b $ 的等比中项,那么 $ G^2 = ab $(假设 $ G \neq 0 $)1。
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等比数列的性质:在等比数列中,如果 $ m, n, p, q $ 是自然数,并且满足 $ m + n = p + q $,那么 $ a^m \cdot a^n = a^p \cdot a^q $1。此外,如果 $ m + n = 2q $,那么 $ a^m \cdot a^n = (a^q)^2 $1。
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等比定理:如果比例 $ a:b = c:d $ 成立(其中 $ b, d \neq 0 $),那么 $ (a+c):(b+d) = (a-c):(b-d) = a:b = c:d $,并且如果 $ a:b = c:d = e:f = \ldots = m:k $,那么 $ (a+c+e+\ldots+m):(b+d+f+\ldots+k) = a:b $(只要分母之和不为零)3。
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等比数列的求和公式推导:求和公式可以通过错位相减法、累加法或裂项法等方法推导得出1。