分别利用二重积分和对坐标的曲线积分计算由直线x+y=2和抛物线x=y^2所围成的平面图形的面积.

要计算由直线 $x + y = 2$ 和抛物线 $x = y^2$ 所围成的平面图形的面积，我们可以采用两种方法：二重积分和对坐标的曲线积分。

二重积分方法

首先，我们可以通过二重积分来计算这个面积。二重积分是一种在平面区域上对函数进行积分的方法，可以用来计算平面图形的面积。

1. 确定积分区域：由直线 $x + y = 2$ 和抛物线 $x = y^2$ 所围成的区域是一个三角形，其顶点为 $(0, 0)$, $(1, 1)$, 和 $(2, 0)$。

2. 设置积分变量：我们可以将 $x$ 作为积分变量，$y$ 作为 $x$ 的函数，即 $y = 2 - x$。

3. 计算积分：面积 $A$ 可以通过下面的二重积分来计算： $A = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2-x} 1 \, dy \, dx$ 其中，$1$ 是积分函数（因为我们要计算的是面积，所以函数值为 $1$），$0$ 到 $1$ 是 $x$ 的积分区间，$0$ 到 $2-x$ 是 $y$ 的积分区间。

4. 计算结果：计算这个二重积分，我们可以得到面积 $A$。

对坐标的曲线积分方法

另一种方法是通过对坐标的曲线积分来计算面积。这种方法涉及到沿着曲线的积分，通常用于计算曲线的长度或者与曲线相关的面积。

1. 确定积分路径：我们需要沿着抛物线 $x = y^2$ 从 $y = 0$ 到 $y = 1$ 进行积分。

2. 设置积分变量：我们可以将 $y$ 作为积分变量，$x$ 作为 $y$ 的函数，即 $x = y^2$。

3. 计算积分：面积 $A$ 可以通过下面的曲线积分来计算： $A = \int_{0}^{1} (y^2) \, dy$ 其中，$y^2$ 是积分函数，表示 $y$ 轴方向上的宽度，$0$ 到 $1$ 是 $y$ 的积分区间。

4. 计算结果：计算这个曲线积分，我们可以得到面积 $A$。

这两种方法都可以得到相同的结果，因为它们都是基于积分原理来计算面积的。在实际应用中，选择哪种方法取决于问题的具体情况和个人偏好。123456789