已知在抛掷硬币试验中，正面出现的概率为 0.5。为了使出现正面的频 率与之概率之差的绝对值不超过 0.01 的概率不小于 99%，试验次数至少应该多 少次？

在解决这个问题时，我们需要使用中心极限定理和二项分布的性质。根据中心极限定理，当试验次数足够大时，二项分布可以近似为正态分布。我们的目标是找到试验次数 $n$，使得正面出现频率与概率之差的绝对值不超过 0.01 的概率不小于 99%。

首先，我们需要确定二项分布的期望 $E$ 和方差 $Var$。由于硬币是均匀的，每次抛硬币正面出现的概率是 0.5，因此：

$E(X) = n \times 0.5$ $Var(X) = n \times 0.5 \times (1 - 0.5) = n \times 0.25$

其中 $X$ 是 $n$ 次试验中正面出现的次数。

接下来，我们使用中心极限定理，将二项分布近似为正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = E(X)$ 和 $\sigma^2 = Var(X)$。我们要找的是 $n$ 的值，使得：

$P(|X - 0.5n| \leq 0.01n) \geq 0.99$

由于正态分布是对称的，我们可以将上述不等式转换为：

$P\left(\frac{|X - 0.5n|}{\sqrt{n/4}} \leq \frac{0.01n}{\sqrt{n/4}}\right) \geq 0.99$

进一步简化得到：

$P\left(\left|\frac{X - 0.5n}{\sqrt{n/4}}\right| \leq 0.02\sqrt{n}\right) \geq 0.99$

根据正态分布的性质，这等价于：

$P\left(-0.02\sqrt{n} \leq \frac{X - 0.5n}{\sqrt{n/4}} \leq 0.02\sqrt{n}\right) \geq 0.99$

我们可以使用标准正态分布的累积分布函数 $\Phi$ 来计算这个概率：

$1 - (1 - 0.99) = \Phi\left(\frac{0.02\sqrt{n}}{\sqrt{n/4}}\right) - \Phi\left(-\frac{0.02\sqrt{n}}{\sqrt{n/4}}\right)$

由于 $\Phi$ 是对称的，我们可以简化为：

$2\Phi\left(\frac{0.02\sqrt{n}}{\sqrt{n/4}}\right) - 1 \geq 0.99$

解这个不等式，我们得到：

$\Phi\left(\frac{0.02\sqrt{n}}{\sqrt{n/4}}\right) \geq 0.995$

使用标准正态分布表或计算器，我们可以找到对应的 $z$ 值。由于 $\Phi(1.96) = 0.975$ 和 $\Phi(2.33) = 0.990$，我们需要的 $z$ 值应该在 1.96 和 2.33 之间。为了简化计算，我们可以使用 $\Phi(2) \approx 0.977$ 作为一个近似值。

$\frac{0.02\sqrt{n}}{\sqrt{n/4}} \geq 2$

$0.02\sqrt{n} \geq 2\sqrt{n/4}$

$0.02\sqrt{n} \geq \sqrt{n/2}$

$0.02^2 n \geq \frac{n}{2}$

$0.0004n \geq \frac{n}{2}$

$n \geq \frac{1}{0.0004 \times 2}$

$n \geq 1250$

因此，为了使出现正面的频率与概率之差的绝对值不超过 0.01 的概率不小于 99%，试验次数至少应该是 1250 次。13