(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4>=rc^4

根据给定的不等式和搜索结果，我们可以得出结论：不等式 $(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 \geq r \cdot c^4$ 的成立性取决于 $r$ 的值和 $a, b, c$ 之间的关系。如果 $r$ 取值合适，并且 $a, b, c$ 满足特定条件，这个不等式是有可能成立的。

首先，根据2，我们可以知道 $(a-b)$, $(b-c)$, 和 $(c-a)$ 都是多项式的因子，这暗示了 $a, b, c$ 之间的关系可能对不等式的成立有重要影响。同时，3提到了 $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4abc$ 无法因子分解，这可能意味着在某些情况下，不等式中的项无法直接简化。

进一步地，4中提到 $a^4+b^4+c^4$ 可以分解为 $(a^2+b^2)(a^2+c^2)$，这为我们提供了一种可能的分解方法，但是否能够应用到不等式中，还需要具体分析。

最后，10中的均值不等式提供了一种可能的证明方法，即通过均值不等式来证明不等式 $(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4$ 的下界。然而，这需要进一步的数学推导和证明。

综上所述，不等式 $(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 \geq r \cdot c^4$ 的成立性是一个需要具体分析的问题，它依赖于 $r$ 的取值和 $a, b, c$ 之间的具体关系。在没有具体的 $r$ 值和 $a, b, c$ 的条件下，我们无法给出一个确定的答案。123410