数列平均值极限存在性与数列本身极限存在性相关联。“数列an极限存在为a,则由前n项的平均值构成的数列a1+a2+...+ann极限也存在且等于a。”

数列本身极限存在性与数列平均值极限存在性是相关联的。如果数列 $\{a_n\}$ 的极限存在且为 $a$，那么由前 $n$ 项的平均值构成的数列 $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$ 的极限也存在，并且等于 $a$。3

这个结论是基于数列极限的定义和性质得出的。当数列 $\{a_n\}$ 收敛到 $a$ 时，意味着对于任意给定的正数 $\epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \epsilon$。由此可以推导出数列的平均值在 $n$ 趋于无穷大时，也会逼近 $a$。然而，反之则不一定成立，即数列平均值的极限存在，并不能保证数列 $\{a_n\}$ 本身的极限存在。例如，数列 $(-1)^n$ 的平均值的极限为 0，但 $(-1)^n$ 本身的极限并不存在。25