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题目描述 定义一个正整数序列为完美序列,当且仅当满足三个条件:1.它的长度等于Ⅳ。 2.如果在串A中第i位是0,那么该序列第讠个位置上的数字要小于等于比编号?小的位置上的数字。 3.对应的,如果串A中第i位是1,那么该序列第i个位置上的数字要大于等于比编号i小的位置上的数字。 小G想考考你,如果给定一个数字M。 在正整数序列中所有数字大小不超过 M 的情况下: 1.如果可以使用重复的数字,完美序列有多少种。 2.如果不可以使用重复的数字,完美序列有多少种。 为了方便检查,请输出两个问题的答案之和。 因为答案过大,答案对 19992147 取模。 字符串位数从1开始,且字符串中只含有01。 输入描述 第一行给出一个正整数N,表示字符串的长度。 第二行给出一个长度为N的01字符串A. 第三行给出一个整数M。 输出描述 按题目要求输出一个整数,为最终两个问题的答案之和。
2个月前
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这个问题是一个组合数学问题,涉及到动态规划和组合数学的技巧。我们可以通过以下步骤来解决这个问题:
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理解问题:首先,我们需要理解题目中的“完美序列”的定义。根据题目描述,完美序列是一个长度为N的正整数序列,满足特定的条件,这些条件取决于给定的01字符串A。
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定义状态:我们可以定义一个动态规划的状态
dp[i][j]
,表示在给定的01字符串A的前i位,使用不超过j个不同的数字,可以构造出多少个满足条件的序列。 -
状态转移方程:根据题目中的条件,我们可以推导出状态转移方程。如果A[i]是0,那么第i位的数字必须小于等于之前所有位置的数字;如果A[i]是1,那么第i位的数字必须大于等于之前所有位置的数字。
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初始化:对于长度为1的序列,我们有M种选择(因为所有数字大小不超过M),所以
dp[1][j] = M
,对于j从1到M。 -
边界条件:对于长度为N的序列,我们需要考虑两种情况:使用重复数字和不使用重复数字。对于使用重复数字的情况,我们可以使用所有M个数字;对于不使用重复数字的情况,我们只能使用1到j的数字。
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计算答案:最终,我们需要计算两种情况下的序列数量之和,并对19992147取模。
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实现算法:根据上述步骤,我们可以编写一个算法来解决这个问题。
下面是一个简化的算法实现思路,不包括具体的代码实现:
def count_perfect_sequences(N, A, M):
MOD = 19992147
# 初始化dp数组
dp_with_repetition = [[0] * (M + 1) for _ in range(N + 1)]
dp_without_repetition = [[0] * (M + 1) for _ in range(N + 1)]
# 初始化第一行
for j in range(1, M + 1):
dp_with_repetition[1][j] = M
dp_without_repetition[1][j] = 1 if j == 1 else 0
# 填充dp数组
for i in range(2, N + 1):
for j in range(1, M + 1):
if A[i - 1] == '0':
# 使用重复数字
dp_with_repetition[i][j] = sum(dp_with_repetition[i - 1][:j]) % MOD
# 不使用重复数字
dp_without_repetition[i][j] = sum(dp_without_repetition[i - 1][:j]) % MOD
else:
# 使用重复数字
dp_with_repetition[i][j] = sum(dp_with_repetition[i - 1][j:]) % MOD
# 不使用重复数字
dp_without_repetition[i][j] = sum(dp_without_repetition[i - 1][j:]) % MOD
# 计算最终答案
total_count = 0
for j in range(1, M + 1):
total_count += (dp_with_repetition[N][j] + dp_without_repetition[N][j]) % MOD
total_count %= MOD
return total_count
# 读取输入
N = int(input())
A = input().strip()
M = int(input())
# 输出结果
print(count_perfect_sequences(N, A, M))
请注意,这个算法实现思路是一个简化的版本,实际的实现可能需要更多的细节处理,例如边界条件和状态转移的优化。此外,由于问题可能涉及到非常大的数字,实际的实现可能需要使用更高效的数据结构和算法来处理。
你觉得结果怎么样?