函数f ( a x + ( 1 − a ) y ,t)在ax

函数性质分析

• 轴对称性：若函数满足$ f(a+x) = f(a-x) $，则关于$ x=a $对称。1
• 中心对称性：若$ f(x+a) = -f(a-x) $或$ f(x+a) + f(a-x) = 0 $，则关于$ (a,0) $中心对称。1
• 凸集与凸函数：集合$ C $是凸集，若对任意$ x, y \in C $，有$ tx + (1-t)y \in C $。函数$ f $是凸函数，若其图像在任意两点连线下方。23

函数图像变换

• 平移变换：函数$ y = a/x $向右平移1个单位，再上下平移$ |a| $单位，可得到新的函数图像。5

函数的连续性与有界性

• 连续性：若函数$ f(x) $在闭区间$ a, b $上连续，则它在该区间上有界。6
• 单调性与极值：导数的符号变化可以分析函数的单调性，进而判断极值与零点。10

特定函数问题求解

• 切线方程：已知函数$ f(x) = e^x + b $与直线$ y = x + 1 $相切，求$ a, b $值，以及曲线$ y = mf(x) $上两点的切线。7
• 单调性判断：对于函数$ f(x) = e^x \sin x - ax $，在特定条件下判断其在区间$ 0, \frac{3\pi}{4} $上的单调性。8

函数图像的特定点问题

• 切线方程求解：对于函数$ f(x) $在特定点的切线方程，如$ a = 2 $时在$ x = 1 $处的切线。9

函数零点问题

• 零点个数判断：对于函数$ f(x) $在特定区间的零点个数，如$ a \geq 2(e^2) $时在区间$ (1, e^2) $的零点个数。9

函数图像的特定变换

• 函数图像变换：对于函数$ f(ax + (1-a)y, t) $，其图像变换取决于参数$ a $和$ t $的值。在没有具体函数形式的情况下，无法给出具体变换结果。