求函数z=x^2 2xy y^3的极值

为了求函数 $ z = x^2 - 2xy + y^3 $ 的极值，我们需要遵循以下步骤：

1. 求偏导数：首先，我们需要计算函数 $ z $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。偏导数 $ z'(x) $ 和 $ z'(y) $ 可以通过对 $ z $ 进行微分得到。

2. 求驻点：驻点是偏导数同时为零的点。通过解方程 $ z'(x) = 0 $ 和 $ z'(y) = 0 $ 来找到这些点。

3. 判断极值：在找到驻点之后，我们需要判断这些点是否为极值点。这可以通过计算二阶偏导数的行列式来完成，即 $ D = \begin{vmatrix} z''{xx} & z''{xy} \ z''{yx} & z''{yy} \end{vmatrix} $。

4. 分析单调性：如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么这个区间的端点可能是极值点。

5. 考虑边界条件：如果函数定义在某个区域上，还需要考虑边界条件。

现在，让我们按照这些步骤来求解函数 $ z = x^2 - 2xy + y^3 $ 的极值。

求偏导数： $ z'(x) = 2x - 2y $1 $ z'(y) = -2x + 3y^2 $1

求驻点： 解方程 $ 2x - 2y = 0 $ 和 $ -2x + 3y^2 = 0 $ 得到驻点。

判断极值： 计算二阶偏导数： $ z''{xx} = 2 $1 $ z''{xy} = -2 $1 $ z''{yx} = -2 $1 $ z''{yy} = 6y $1

计算 $ D $： $ D = \begin{vmatrix} 2 & -2 \ -2 & 6y \end{vmatrix} = 4(6y - 4) $1

分析单调性： 根据函数的单调性，我们可以确定函数在哪些区间上单调递增或递减。例如，如果 $ z'(x) $ 在某个区间上始终为正，则函数在该区间上单调递增；如果 $ z'(x) $ 始终为负，则函数在该区间上单调递减。5

考虑边界条件： 如果函数定义在某个区域上，我们需要考虑该区域的边界。例如，如果 $ x $ 和 $ y $ 被限制在某个区间内，我们需要检查这些边界点是否为极值点。

通过以上步骤，我们可以找到函数 $ z = x^2 - 2xy + y^3 $ 的极值点，并判断它们是极大值还是极小值。然而，具体的计算和分析需要根据函数的具体形式和定义域来完成。678