已知二维联合密度函数求边缘密度函数

要由二维联合密度函数求边缘密度函数，需要对其中一个变量进行积分，以得到另一个变量的边缘概率密度函数。具体来说，对于二维连续随机变量 $(X, Y)$，其联合密度函数表示为 $f(x, y)$。边缘密度函数的求法如下：

1. 求边缘密度函数 $f_X(x)$：通过对 $Y$ 的所有可能值进行积分，从负无穷到正无穷，可以得到 $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$。数学表达式为： $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy$ 这个过程涉及到对 $Y$ 的积分，而 $X$ 保持为常数。134

2. 求边缘密度函数 $f_Y(y)$：同理，通过对 $X$ 的所有可能值进行积分，从负无穷到正无穷，可以得到 $Y$ 的边缘密度函数 $f_Y(y)$。数学表达式为： $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx$ 这个过程涉及到对 $X$ 的积分，而 $Y$ 保持为常数。134

例如，在2中给出的联合密度函数实例中，$f(x, y) = \frac{c}{y^2} \cdot \mathbb{1}_{\{0 < x < 2y, 0 < y < 1\}}$，其中 $\mathbb{1}$ 是指示函数，用于限制 $x$ 和 $y$ 的取值范围。要找到常数 $c$，需要确保联合密度函数满足概率密度函数的性质，即在整个定义域上的积分为1。通过积分计算，可以得到 $c = 2$。2

在实际应用中，求边缘密度函数的具体步骤可能因联合密度函数的形式而异，但基本原理是相同的。通过积分，可以由联合密度函数得到每个随机变量的边缘概率密度函数，进而分析单个随机变量的概率特性。689