现有三封信，逐封地投入编号分别为1，2，3，4的四个空邮筒，则投完这三封信后不空的邮筒的最小编号为3的概率

根据题目描述，我们有三封信，需要逐封地投入编号分别为1，2，3，4的四个空邮筒中。我们需要计算的是，投完这三封信后，不空的邮筒的最小编号为3的概率。

首先，我们需要理解这个问题的背景。这是一个典型的排列组合问题，涉及到概率论中的分布列和分布函数。在这个问题中，我们关注的是随机变量X，它表示不空邮筒的最小号码。我们需要求的是X=3的概率，即所有信件都投入了编号3或更大的邮筒中。

根据题目的描述，我们可以知道，总共有$4^3 = 64$种不同的投寄方法，因为每个信件都有4种选择，而有3个信件78。为了使最小编号为3，我们需要考虑所有信件都投入编号3、4的邮筒中的情况。

具体来说，我们可以将信件投入编号3和4的邮筒中的组合数计算出来。由于有3个信件，我们可以将它们分成以下几种情况：

1. 所有3封信都投入编号3的邮筒中。
2. 2封信投入编号3的邮筒，1封信投入编号4的邮筒。
3. 1封信投入编号3的邮筒，2封信投入编号4的邮筒。
4. 所有3封信都投入编号4的邮筒中。

对于第一种情况，只有1种方法。对于第二种情况，我们需要从3个信件中选择2个投入编号3的邮筒，这可以通过组合数$C(3,2)$来计算，等于3种方法。第三种情况与第二种情况相同，也是3种方法。最后，对于第四种情况，也只有1种方法。

因此，总共有$1 + 3 + 3 + 1 = 8$种方法可以使最小编号为3的邮筒不为空。所以，最小编号为3的概率为$P(X=3) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$。

综上所述，投完这三封信后不空的邮筒的最小编号为3的概率为$\frac{1}{8}$。12345678