已知椭圆 � 1 : � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1 C 1 ​ : a 2 x 2 ​ + b 2 y 2 ​ =1 ( � > � > 0 a>b>0) 的右焦点 � F 与抛物线 � 2 C 2 ​ 的焦点重合， � 1 C 1 ​ 的中心与 � 2 C 2 ​ 的顶点重合。过 � F 且与 � x 轴垂直的直线交 � 1 C 1 ​ 于 � A、 � B 两点，交 � 2 C 2 ​ 于 � C、 � D 两点，且 ∣ � � ∣ = 4 3 ∣ � � ∣ ∣CD∣= 3 4 ​ ∣AB∣。试求 � 1 C 1 ​ 的离心率为多少？

根据题目描述，我们需要求解椭圆 $C_1$ 的离心率。首先，我们需要了解椭圆的基本性质和离心率的定义。

椭圆的离心率 $e$ 定义为椭圆的焦距 $2c$ 与长轴长度 $2a$ 的比值的一半，即 $e = \frac{c}{a}$，其中 $0 < e < 1$（1, 5, 6, 14）。离心率可以形象地理解为在椭圆的长轴长度不变的情况下，两个焦点离开中心的程度（1, 5, 6, 14）。

题目中给出的椭圆 $C_1$ 的方程为： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 其中 $a > b > 0$。

根据题目，椭圆 $C_1$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合。由于抛物线的焦点位于其对称轴上，且距离顶点为 $\frac{1}{4}$ 倍的顶点到准线的距离，我们可以推断出抛物线 $C_2$ 的方程为 $y^2 = 4px$，其中 $p$ 是从顶点到焦点的距离。由于 $C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合，我们可以设 $C_1$ 的中心为原点 $(0, 0)$，因此抛物线 $C_2$ 的顶点也是原点，所以 $p = \frac{1}{2}$，抛物线 $C_2$ 的方程为 $y^2 = 2x$。

接下来，我们需要利用题目中给出的线段长度关系 $|CD| = \frac{3}{4} |AB|$ 来求解 $a$ 和 $b$。由于 $AB$ 和 $CD$ 分别是过焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 的交点，我们可以利用相似三角形的性质来建立关系。

由于 $AB$ 和 $CD$ 的比例关系，我们可以推断出 $C_1$ 的长轴和短轴与 $C_2$ 的参数 $p$ 有关。但是，题目没有直接给出 $AB$ 和 $CD$ 的具体长度，也没有给出足够的信息来直接计算 $a$ 和 $b$。因此，我们需要使用椭圆的第二定义来求解 $e$。

椭圆的第二定义表明，对于椭圆上的任意一点 $P$，$P$ 到两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离之和等于 $2a$（1, 3）。然而，由于我们没有 $P$ 的具体位置，我们不能直接应用第二定义来求解 $e$。

由于题目条件不足以直接计算出 $a$ 和 $b$ 的值，进而求得 $e$，我们需要更多的信息或者额外的条件来解决这个问题。如果题目中有误或者缺少关键信息，请提供更多细节以便给出准确的答案。