求Z=x+y+√x2+y2,在(3,4)处的偏导数

偏导数求解

一阶偏导数

• 对x求偏导：首先对$x$求偏导，将$y$视为常数，得到 $1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。在点(3,4)处，代入$x = 3, y = 4$，得到 $1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$。
• 对y求偏导：然后对$y$求偏导，将$x$视为常数，得到 $1 + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。在点(3,4)处，代入$x = 3, y = 4$，得到 $1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$。

二阶偏导数

• 对x求二阶偏导：对$x$求二阶偏导，首先对$x$求一阶偏导，得到 $1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，再对结果求导，得到 $\frac{-x^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$。在点(3,4)处，代入$x = 3, y = 4$，得到 $\frac{-27}{350} = -\frac{27}{350}$。
• 对y求二阶偏导：对$y$求二阶偏导，首先对$y$求一阶偏导，得到 $1 + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，再对结果求导，得到 $\frac{-y^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$。在点(3,4)处，代入$x = 3, y = 4$，得到 $\frac{-64}{350} = -\frac{64}{350}$。

混合偏导数

• 求混合偏导：混合偏导数是先对$x$求偏导，再对$y$求偏导，或者相反。根据克莱罗定理，混合偏导数的值是相同的。在本例中，$\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 Z}{\partial y \partial x}$。计算其中一个即可，例如先对$x$求偏导，再对结果关于$y$求偏导，得到 $\frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$。在点(3,4)处，代入$x = 3, y = 4$，得到 $\frac{-24}{350} = -\frac{12}{175}$。17