求函数z=x^2+2xy+y^3的极值

为了求解函数 $z = x^2 + 2xy + y^3$ 的极值，我们需要遵循多元函数求极值的一般步骤。首先，我们需要找到函数的驻点，即一阶偏导数同时为零的点。然后，我们利用二阶偏导数来确定这些驻点是极大值、极小值还是鞍点。

一阶偏导数

我们首先计算函数 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的一阶偏导数：

$z'(x) = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y$ $z'(y) = \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 + 2x$

令 $z'(x) = 0$ 和 $z'(y) = 0$，我们得到以下方程组：

$2x + 2y = 0$ $3y^2 + 2x = 0$

解这个方程组，我们可以得到驻点的坐标。

二阶偏导数

接下来，我们需要计算二阶偏导数以及混合偏导数：

$z''(x) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$ $z''(y) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y$ $z'(xy) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2$

海森矩阵

利用这些二阶偏导数，我们可以构建海森矩阵 $H$：

$H = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 6y \end{bmatrix}$

极值的判断

为了确定驻点是极大值、极小值还是鞍点，我们需要计算海森矩阵的行列式 $D$ 以及 $z''(x)$ 和 $z''(y)$ 的符号：

$D = \det(H) = 2 \cdot 6y - 2 \cdot 2 = 12y - 4$

如果 $D > 0$ 且 $z''(x) > 0$，则驻点是极小值点；如果 $D > 0$ 且 $z''(x) < 0$，则驻点是极大值点；如果 $D < 0$，则驻点是鞍点。

结论

通过上述步骤，我们可以找到函数 $z = x^2 + 2xy + y^3$ 的驻点，并利用海森矩阵来判断这些驻点是极大值、极小值还是鞍点。具体的驻点坐标和极值类型需要通过解方程组和计算海森矩阵的行列式来确定。7