△ABC 的内角 � , � , � A,B,C 的对边分别为 � , � , � a,b,c，已知 cos ⁡ 2 ( � 2 + � ) + cos ⁡ � = 5 4 cos 2 ( 2 π ​ +A)+cosA= 4 5 ​ 。求 � A的值是多少？

根据题目所给条件，我们可以使用三角函数的性质和公式来求解角A的值。首先，我们需要理解题目中的公式：

$\cos^2\left(\frac{\pi}{2} + A\right) + \cos A = \frac{5}{4}$

这里使用了二倍角公式和诱导公式。根据二倍角公式，我们知道：

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$

同时，根据诱导公式，我们有：

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + A\right) = -\sin A$

将这两个公式代入题目中的等式，我们可以得到：

$(-\sin A)^2 + \cos A = \frac{5}{4}$

$\sin^2 A + \cos A = \frac{5}{4}$

由于 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，我们可以将 $\sin^2 A$ 用 $1 - \cos^2 A$ 替换，得到：

$1 - \cos^2 A + \cos A = \frac{5}{4}$

$\cos^2 A - \cos A + \frac{1}{4} = 0$

这是一个关于 $\cos A$ 的二次方程。我们可以通过求解这个方程来找到 $\cos A$ 的值。解得：

$\cos A = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}}}{2 \cdot 1}$

$\cos A = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 1}}{2}$

$\cos A = \frac{1 \pm 0}{2}$

$\cos A = \frac{1}{2}$

由于 $\cos A = \frac{1}{2}$，我们可以知道角A的值为：

$A = \frac{\pi}{3}$

这是因为在 $0 < A < \pi$ 的范围内，只有 $A = \frac{\pi}{3}$ 时，余弦值为 $\frac{1}{2}$。

综上所述，角A的值为 $\frac{\pi}{3}$。710