请写出线性回归损失函数计算的公式，阐述主要的两大损失函数计算方法，比较两大方法的不同及各自流程

线性回归损失函数计算的公式是均方误差（MSE），其公式为：

$ \text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 $

其中，$ y_i $ 是实际值，$ \hat{y}_i $ 是预测值，$ n $ 是样本数量。

主要损失函数计算方法

均方误差（MSE）

• 定义：均方误差是最常用的回归损失函数，计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和。
• 公式：$ \text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 $
• 流程：
  1. 计算每个样本的预测值与真实值的差值。
  2. 将差值平方。
  3. 求所有样本平方差值的平均值。

平均绝对误差（MAE）

• 定义：平均绝对误差是另一种常用的回归损失函数，计算方法是求预测值与真实值之间距离的绝对值和。
• 公式：$ \text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i| $
• 流程：
  1. 计算每个样本的预测值与真实值的差值。
  2. 取差值的绝对值。
  3. 求所有样本绝对差值的平均值。

比较两大方法的不同及各自流程

不同点

• 损失函数形式：
  • MSE使用平方差值，对大误差有更大的惩罚。
  • MAE使用绝对差值，对所有误差一视同仁。
• 对异常值的敏感性：
  • MSE对异常值更敏感，因为平方操作会放大误差。
  • MAE对异常值不敏感，因为绝对值操作不会放大误差。
• 优化难度：
  • MSE的优化相对容易，因为其损失函数是凸函数。
  • MAE的优化相对困难，因为其损失函数在零点处不可导。

各自流程

• MSE流程：
  1. 计算预测值与真实值的差值。
  2. 平方差值。
  3. 求平方差值的平均值。
• MAE流程：
  1. 计算预测值与真实值的差值。
  2. 取差值的绝对值。
  3. 求绝对差值的平均值。

通过以上分析，可以看出MSE和MAE在计算方法、对异常值的敏感性以及优化难度上存在显著差异，选择哪种损失函数取决于具体应用场景和数据特性。