请详细写出将方程(2)式带入到(1)式后展开的计算过程，并详细写出从(1)式和(2)式推出方程(3)的推导过程

将方程(2)式带入到(1)式后展开的计算过程，并详细写出从(1)式和(2)式推出方程(3)的推导过程。

📐 方程(2)带入方程(1)的展开计算

方程(1)和(2)的定义

首先，我们回顾方程(1)和(2)的定义：

• 方程(1)： $ H_m = \sum_{j=1}^N \left( \omega_0 - \frac{i\Gamma_0}{2} \right) \sigma_{j}^{ee} + \sum_{i \neq j} \left( J_{ij} - \frac{i\Gamma_{ij}}{2} \right) \sigma_{i}^{eg} \sigma_{j}^{ge} $ 其中，$\sigma_{j}^{ee}$ 和 $\sigma_{j}^{eg}$ 是原子 j 的跃迁算符。

• 方程(2)： $ J_{ij} - \frac{i\Gamma_{ij}}{2} = - \frac{3\pi \Gamma_0 \omega_0}{\hbar} \hat{\wp}_i \cdot G_0(r_i - r_j) \cdot \hat{\wp}_j $ 其中，$\hat{\wp}_i = \frac{\wp_i}{|\wp_i|} \equiv \hat{\wp}_0$，$G_0(r_i - r_j)$ 是真空中的格林函数。

带入计算

将方程(2)带入方程(1)，我们得到：

$ H_m = \sum_{j=1}^N \left( \omega_0 - \frac{i\Gamma_0}{2} \right) \sigma_{j}^{ee} + \sum_{i \neq j} \left( - \frac{3\pi \Gamma_0 \omega_0}{\hbar} \hat{\wp}i \cdot G_0(r_i - r_j) \cdot \hat{\wp}j \right) \sigma{i}^{eg} \sigma{j}^{ge} $

简化后：

$ H_m = \sum_{j=1}^N \left( \omega_0 - \frac{i\Gamma_0}{2} \right) \sigma_{j}^{ee} - \frac{3\pi \Gamma_0 \omega_0}{\hbar} \sum_{i \neq j} \left( \hat{\wp}i \cdot G_0(r_i - r_j) \cdot \hat{\wp}j \right) \sigma{i}^{eg} \sigma{j}^{ge} $

进一步简化

考虑到 $\hat{\wp}_i = \hat{\wp}_0$，我们可以进一步简化：

$ H_m = \sum_{j=1}^N \left( \omega_0 - \frac{i\Gamma_0}{2} \right) \sigma_{j}^{ee} - \frac{3\pi \Gamma_0 \omega_0}{\hbar} \sum_{i \neq j} \left( \hat{\wp}0 \cdot G_0(r_i - r_j) \cdot \hat{\wp}0 \right) \sigma{i}^{eg} \sigma{j}^{ge} $

📐 从方程(1)和(2)推出方程(3)的推导过程

方程(3)的定义

方程(3)定义为：

$ \omega_k - \frac{i\gamma_k}{2} = \omega_0 - \frac{3\pi \Gamma_0 k_0}{\hbar} \hat{\wp}_0 \cdot \tilde{G}_0(k) \cdot \hat{\wp}_0 $

其中，$\tilde{G}_0(k)$ 是格林函数的离散傅里叶变换。

推导过程

1. 单激发子空间： 在单激发子空间中，哈密顿量的本征态是 Bloch 函数 $S_k^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j \sigma_j^{eg} e^{ik \cdot r_j}$，其中 $k = (k_x, k_y) \in [-\pi/d, \pi/d]^2$。

2. 本征能量： 本征能量为： $ \omega_k - \frac{i\gamma_k}{2} = \omega_0 - \frac{3\pi \Gamma_0 k_0}{\hbar} \hat{\wp}_0 \cdot \tilde{G}_0(k) \cdot \hat{\wp}_0 $ 其中，$\tilde{G}_0(k) = \sum_j e^{-ik \cdot r_j} G_0(r_j)$ 是格林函数的离散傅里叶变换。

3. 格林函数的傅里叶变换： 格林函数的傅里叶变换为： $ \tilde{G}_0(k) = \sum_j e^{-ik \cdot r_j} G_0(r_j) $

4. 带入方程(2)： 将方程(2)中的 $G_0(r_i - r_j)$ 替换为 $\tilde{G}0(k)$： $ J{ij} - \frac{i\Gamma_{ij}}{2} = - \frac{3\pi \Gamma_0 \omega_0}{\hbar} \hat{\wp}_0 \cdot \tilde{G}_0(k) \cdot \hat{\wp}_0 $

5. 推导方程(3)： 结合方程(1)和(2)，我们可以得到： $ \omega_k - \frac{i\gamma_k}{2} = \omega_0 - \frac{3\pi \Gamma_0 k_0}{\hbar} \hat{\wp}_0 \cdot \tilde{G}_0(k) \cdot \hat{\wp}_0 $

结论

通过将方程(2)带入方程(1)并进行简化，我们得到了哈密顿量的具体形式。进一步推导，我们得到了方程(3)，描述了单激发子空间中的本征能量。