在n小于80的自然数范围内,使得 4n+5和 7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值之和为( ),

在n小于80的自然数范围内，要找到使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值之和，我们可以参考已有的数学原理和方法。

首先，根据2，我们知道4n+5和7n+6的公因数只能是11，因为7(4n+5) - 4(7n+6) = 11。这意味着，当4n+5能被11整除时，7n+6也必然能被11整除。

接下来，根据4，当n小于50时，使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的值是7, 18, 29, 40。我们可以推断，当n在50到80之间时，我们也需要找到满足4n+5能被11整除的n的值。

为了找到这些值，我们可以设置4n+5 = 11k，其中k是某个整数。解这个方程得到n = (11k - 5) / 4。我们需要找到满足这个方程的k值，使得n是小于80的自然数。

通过计算，我们可以找到满足条件的k值：

• 当k=5时，n = (55 - 5) / 4 = 55 / 4 = 13.75（不是自然数）
• 当k=6时，n = (66 - 5) / 4 = 61 / 4 = 15.25（不是自然数）
• 当k=7时，n = (77 - 5) / 4 = 72 / 4 = 18（是自然数）
• 当k=8时，n = (88 - 5) / 4 = 83 / 4 = 20.75（不是自然数）
• 当k=9时，n = (99 - 5) / 4 = 94 / 4 = 23.5（不是自然数）
• 当k=10时，n = (110 - 5) / 4 = 105 / 4 = 26.25（不是自然数）
• 当k=11时，n = (121 - 5) / 4 = 116 / 4 = 29（是自然数）
• 当k=12时，n = (132 - 5) / 4 = 127 / 4 = 31.75（不是自然数）
• 当k=13时，n = (143 - 5) / 4 = 138 / 4 = 34.5（不是自然数）
• 当k=14时，n = (154 - 5) / 4 = 149 / 4 = 37.25（不是自然数）
• 当k=15时，n = (165 - 5) / 4 = 160 / 4 = 40（是自然数）

因此，在n小于80的范围内，满足条件的n的值是18, 29, 40。将这些值相加，我们得到18 + 29 + 40 = 87。

所以，使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值之和为87。24