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计算复变函数一习题:arg(-2√3+2i)=

4月前
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理解问题计算复变函数一习题:arg(-2√3+2i)=

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复数的辐角(也称为相位或幅角)是复数在复平面上与正实轴所形成的角度。对于复数 $ z = -2\sqrt{3} + 2i $,我们可以通过计算其模和实部与虚部来求得辐角。

首先,复数的模 $ r $ 可以通过公式 $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $ 来计算,其中 $ a $ 是实部,$ b $ 是虚部。对于 $ z = -2\sqrt{3} + 2i $,实部 $ a = -2\sqrt{3} $,虚部 $ b = 2 $。因此,模 $ r $ 为: $ r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4. $

接下来,辐角 $ \theta $ 可以通过 $ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ 来计算,但因为 $ a $ 是负数,我们需要考虑复数所在的象限来确定正确的辐角。在这个例子中,由于 $ a $ 是负数而 $ b $ 是正数,复数位于第三象限。在第三象限,辐角的计算公式为: $ \theta = \pi + \arctan\left(\frac{b}{|a|}\right). $

将 $ a $ 和 $ b $ 的值代入,我们得到: $ \theta = \pi + \arctan\left(\frac{2}{2\sqrt{3}}\right) = \pi + \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right). $

由于 $ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $ 对应的是 $ \frac{\pi}{6} $,所以最终的辐角 $ \theta $ 为: $ \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}. $

因此,复数 $ -2\sqrt{3} + 2i $ 的辐角 $ \arg $ 为 $ \frac{7\pi}{6} $。78

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