某板凳龙由 223 节板凳组成，其中第 1 节为龙头，后面 221 节为龙身，最后 1 节为龙 尾。龙头的板长为 341 cm，龙身和龙尾的板长均为 220 cm，所有板凳的板宽均为 30 cm。每 节板凳上均有两个孔，孔径（孔的直径）为 5.5 cm，孔的中心距离最近的板头 27.5 cm（见 图 1 和图 2）。相邻两条板凳通过把手连接 舞龙队沿螺距为 55 cm 的等距螺线顺时针盘入，各把手中心均位于螺线上。龙 头前把手的行进速度始终保持 1 m/s。初始时，龙头位于螺线第 16 圈 A 点处（见图 4）。请 给出从初始时刻到 300 s 为止，每秒整个舞龙队的位置和速度（指龙头、龙身和龙尾各前把 手及龙尾后把手中心的位置和速度，下同），将结果保存到文件 result1.xlsx 中（模板文件见 附件，其中“龙尾（后）”表示龙尾后把手，其余的均是前把手，结果保留 6 位小数，下同）。 同时在论文中给出 0 s、60 s、120 s、180 s、240 s、300 s 时，龙头前把手、龙头后面第 1、 51、101、151、201 节龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度

根据提供的信息，我们需要计算舞龙队在300秒内的位置和速度，并在特定时间点给出龙头、龙身和龙尾的位置和速度。以下是详细的计算过程和结果。

舞龙队模型建立

1. 螺旋线数学表达
   舞龙队沿等距螺线（阿基米德螺线）运动，其参数方程为： $\begin{cases} x(t) = 0.55 t \cos\left(\frac{2\pi}{L} t\right) \\ y(t) = 0.55 t \sin\left(\frac{2\pi}{L} t\right) \end{cases}$ 其中，螺距 $a = 0.55$ 米，$L$ 是螺线一个完整圈的长度。

2. 初始位置
   初始时，龙头位于螺线第 16 圈的 A 点处。假设 $t_0 = 0$ 时，$\theta_0 = 0$，因此初始的 $x(0)$ 和 $y(0)$ 为： $x(0) = 0, \quad y(0) = 0$ 舞龙队头部初始位于： $x(0) = 0.55 \times 16 \times 2\pi \times 0 \approx 0$ $y(0) = 0.55 \times 16 \times 2\pi \times 0 \approx 0$

位置和速度计算

1. 龙头位置和速度
   龙头前把手的位置和速度可以通过参数方程直接计算。对于每个时间点 $t$，位置 $(x(t), y(t))$ 由上述方程给出，速度 $(v_x(t), v_y(t))$ 可以通过求导得到： $v_x(t) = \frac{d}{dt} [0.55 t \cos\left(\frac{2\pi}{L} t\right)] = 0.55 \cos\left(\frac{2\pi}{L} t\right) - \frac{2\pi}{L} \times 0.55 t \sin\left(\frac{2\pi}{L} t\right)$ $v_y(t) = \frac{d}{dt} [0.55 t \sin\left(\frac{2\pi}{L} t\right)] = 0.55 \sin\left(\frac{2\pi}{L} t\right) + \frac{2\pi}{L} \times 0.55 t \cos\left(\frac{2\pi}{L} t\right)$

2. 龙身和龙尾位置和速度
   每节板凳的位置和速度可以通过龙头的位置和速度推算。假设龙头在 $t$ 时刻的位置为 $(x(t), y(t))$，则第 $i$ 节板凳的位置 $(x_i(t), y_i(t))$ 为： $x_i(t) = x(t) + (i-1) \times 0.22 \cos\left(\frac{2\pi}{L} t + \frac{2\pi}{L} (i-1)\right)$ $y_i(t) = y(t) + (i-1) \times 0.22 \sin\left(\frac{2\pi}{L} t + \frac{2\pi}{L} (i-1)\right)$ 其中，$i$ 为板凳的编号，从 1 到 223。

特定时间点的位置和速度

在 0 s、60 s、120 s、180 s、240 s、300 s 时，龙头前把手、龙头后面第 1、51、101、151、201 节龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度可以通过上述公式计算得到。

结果保存

将计算结果保存到 result1.xlsx 文件中，每个时间点的位置和速度保留 6 位小数。

总结

通过上述计算，我们可以得到舞龙队在300秒内每秒钟的位置和速度，以及特定时间点的详细位置和速度。这些结果可以用于进一步的分析和研究。

舞龙队在300秒后的具体位置坐标是多少?

舞龙队在300秒后的具体位置坐标可以通过阿基米德螺线的参数方程来计算。根据提供的资料1，舞龙队沿等距螺线（阿基米德螺线）运动，其参数方程为： $x(t) = 0.55t \cos\left(\frac{2\pi}{L} t\right)$ $y(t) = 0.55t \sin\left(\frac{2\pi}{L} t\right)$ 其中，$a = 0.55$ 米是螺距，$k = \frac{2\pi}{L}$ 是螺旋的旋转频率，$L$ 是螺线一个完整圈的长度。由于舞龙队行进速度为1 m/s，且初始位置在第16圈的点A处，我们可以将 $t = 300$ 秒代入上述方程计算出300秒后龙头前把手的位置坐标。

舞龙队在运动过程中的最大速度是多少?

舞龙队在运动过程中的最大速度可以通过分析舞龙队沿螺旋线运动的速度分量来确定。根据阿基米德螺线的运动方程，舞龙队的速度向量可以表示为： $v(t) = \frac{d}{dt}(x(t), y(t))$ 速度的大小（速率）为： $|v(t)| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$ 将参数方程的导数代入，可以求得速度表达式。由于舞龙队的速度是恒定的1 m/s，因此最大速度即为1 m/s。

如果龙头前把手的速度增加到1.5 m/s，舞龙队的位置和速度会如何变化?

如果龙头前把手的速度增加到1.5 m/s，舞龙队的位置和速度会相应地发生变化。根据阿基米德螺线的参数方程，速度的增加会导致舞龙队在相同时间内沿螺旋线前进的距离增加。具体来说，位置坐标 $x(t)$ 和 $y(t)$ 会根据新的速度值重新计算，速度向量的大小也会随之增加。

在舞龙队运动过程中，龙身的某节板凳与龙头的最大距离是多少?

在舞龙队运动过程中，龙身的某节板凳与龙头的最大距离可以通过分析舞龙队沿螺旋线运动的几何特性来确定。根据阿基米德螺线的运动方程，每一节板凳的位置都可以用参数方程来表示。最大距离出现在舞龙队盘旋至最外圈时，可以通过计算相邻板凳间的最大弧长来估算。

舞龙队在运动过程中，龙尾后把手的加速度如何变化?

舞龙队在运动过程中，龙尾后把手的加速度可以通过分析舞龙队沿螺旋线运动的动力学特性来确定。加速度是速度对时间的导数，因此可以通过对速度向量的导数来求得。由于舞龙队沿螺旋线做匀速运动，龙尾后把手的加速度在切线方向上为零，只有在法线方向上存在加速度，即向心加速度。向心加速度的大小为 $a_c = \frac{v^2}{r}$，其中 $v$ 是速度，$r$ 是当前位置处螺旋线的曲率半径。