二．计算和论述题（每题 12 分，共计 60 分） 1. 某游戏中可以对人物的武器进行升级，已知 从 0 级升级至 1 级需要 1 个宝石，成功率是 100% 从 1 级升级至 2 级需要 2 个宝石，成功率是 50% 以后每次升级都需要前个等级的宝石数 2 倍，成功率是前个等级的一半， 升级失败宝石不归还，装备不会损失等级。 请计算武器从 0 级升级至 5 级所需的宝石期望数。 2. 已知函数 Random(m)可以获得一个[0, m)区间的随机整数，现需要获得[m, n]区间随机整 数 x（0 <= m <= n），请编写算式实现。 3. 宿舍中，老大对老三说：“老三，你就不能不装不傻？”。老三懵了求助于你。请你帮老 三分析一下老大这句话是否说老三傻，为什么。 4. 已知 10 进制数字 1374 = 1*103 + 3*102 + 7*101 + 4*100 = 1000 + 300 + 70 + 4 = 1374 请计算 16 进制数字 2AF 的 10 进制值 （16 机制中，数字逢 16 进位， A-F 表示进位的 10-15） 5. 商场促销活动经常会出现下面两种形式 (1) 全场七折 (2) 满 100 减 30 请分析对于消费者，哪种形式更加优惠，为什么。

1. 武器升级至5级所需的宝石期望数

首先，我们根据题目描述，可以知道从0级升级至1级需要1个宝石，成功率是100%。从1级升级至2级需要2个宝石，成功率是50%。之后每次升级所需的宝石数是前一个等级的两倍，成功率是前一个等级的一半。我们可以利用数学期望的概念来解决这个问题。

设 $ E_n $ 为从0级升级至n级所需的宝石数的期望值。根据题目描述，我们有：

• $ E_1 = 1 $ （因为从0级到1级需要1个宝石，成功率100%）
• $ E_2 = 1 + 2 \times \frac{1}{2} \times (1 + E_2) $ （因为从1级到2级有50%的概率需要2个宝石，50%的概率失败但宝石不归还）

接下来，我们可以递归地计算 $ E_3, E_4, E_5 $：

• $ E_3 = 1 + 2 \times E_2 + 4 \times \frac{1}{2} \times (1 + E_3) $
• $ E_4 = 1 + 2 \times E_3 + 8 \times \frac{1}{4} \times (1 + E_4) $
• $ E_5 = 1 + 2 \times E_4 + 16 \times \frac{1}{8} \times (1 + E_5) $

通过解这些方程，我们可以得到 $ E_5 $ 的值。这个过程涉及到递归和概率计算，类似于3中提到的计算方法。

2. 获得[m, n]区间随机整数的算式

要实现这个功能，我们可以先使用 Random(m+n+1) 来获得一个从0到 m+n 的随机整数，然后通过减去 m 并加1来调整到所需的区间 [m, n]。具体的算式为：

$ x = \text{Random}(m+n+1) - m + 1 $

3. 老大对老三说的话分析

老大的话：“老三，你就不能不装不傻？”这句话的意思是老大认为老三在故意表现得傻，希望他不要这样做。这里的“不装不傻”实际上是双重否定，表达的是希望老三不要表现得傻。

4. 16进制数字2AF的10进制值

16进制转换为10进制的方法是将每一位的16进制数乘以16的相应权重，然后求和。对于2AF：

• $ 2 \times 16^2 + 10 \times 16^1 + 15 \times 16^0 $
• $ 2 \times 256 + 10 \times 16 + 15 \times 1 $
• $ 512 + 160 + 15 $
• $ 687 $

所以，16进制的2AF等于10进制的687。

5. 商场促销活动优惠分析

对于消费者来说，要判断哪种促销形式更优惠，我们需要比较在不同消费额度下，两种促销方式能够节省的金额。

• 全场七折：无论消费多少，都能享受到30%的折扣。
• 满100减30：只有在消费满100时才能享受优惠，且优惠比例随着消费额度的增加而降低。

如果消费者的消费额度远低于100，那么满减优惠不适用，全场七折更优惠。如果消费额度远高于100，随着消费额度的增加，满减的优惠比例会逐渐低于30%，此时全场七折可能更优惠。如果消费额度恰好是100的整数倍，两种优惠方式节省的金额相同。具体哪种更优惠，需要根据消费者的实际消费额度来判断。

如何计算武器从 0 级升级至 6 级所需的宝石期望数？

要计算武器从0级升级至6级所需的宝石期望数，可以采用数学期望的方法进行分析。数学期望是一种常用的强化计算方式，主要用于分析玩家的操作次数，并以此统计出所需的消耗价值和道具数量1。在具体计算过程中，需要考虑每次升级的概率以及不同情况下的宝石消耗。例如，如果每次升级需要一块宝石，并且每次升级可能出现升一级、保持不变、降一级三种情况，可以建立递归方程来计算从不同等级升级到目标等级的期望宝石数3。具体到从0级升级至6级，可以设定相应的概率值，并根据这些概率计算出期望消耗的宝石数。

如果宝石数量有限，玩家应该如何策略性地进行武器升级？

在宝石数量有限的情况下，玩家应该采取策略性地进行武器升级。一种可能的策略是优先升级那些对战斗力提升最为关键的装备，或者选择那些升级成功率较高的装备进行升级。此外，玩家还可以通过合理分配宝石资源，避免在低成功率的升级上浪费宝石。例如，如果游戏中存在降级惩罚机制，玩家需要权衡升级失败的风险与收益，选择适当的时机进行升级2。

在升级过程中，如果引入宝石的消耗成本，玩家的升级策略会如何变化？

引入宝石的消耗成本会直接影响玩家的升级策略。玩家需要在升级时考虑宝石的成本，可能会更加谨慎地选择升级的时机和对象。例如，如果宝石获取不易或者成本较高，玩家可能会选择在有较高把握成功的情况下使用宝石，或者寻找其他途径来降低升级成本。此外，玩家也可能会通过参与游戏内的活动或者交易来获取更多的宝石，以支持自己的升级计划13。

如果游戏中引入了宝石的获取概率，这将如何影响玩家的升级决策？

如果游戏中引入了宝石的获取概率，这将增加玩家在进行升级决策时的不确定性。玩家需要评估获取宝石的概率以及升级成功的概率，从而决定是否进行升级。在这种情况下，玩家可能会采取更加保守的策略，例如积累更多的宝石以应对不确定性，或者在宝石获取概率较高时进行升级。此外，宝石获取概率的引入也可能影响玩家对游戏内其他资源的分配和使用46。

在不同的成功率和宝石消耗量下，玩家如何平衡风险和收益来决定是否进行升级？

在不同的成功率和宝石消耗量下，玩家需要平衡风险和收益来决定是否进行升级。这涉及到对升级成功带来的好处与升级失败可能导致的损失（如降级惩罚或宝石的浪费）进行权衡。玩家可以通过计算期望值来评估每次升级的潜在收益，并结合自己的宝石储备情况来做出决策。例如，如果升级成功的概率较高且消耗的宝石数量在可接受范围内，玩家可能会选择进行升级；反之，如果升级风险较大，玩家可能会选择等待更好的时机或者寻找降低风险的方法5711。