求经过点（0，2），（1，-2），（2，10）的插值多项式

要找到经过点（0，2），（1，-2），（2，10）的插值多项式，我们可以使用拉格朗日插值法。拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，它可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值1。具体到这个问题，我们需要构建一个多项式 $P(x)$，使得 $P(0) = 2$，$P(1) = -2$，和 $P(2) = 10$。

根据拉格朗日插值法，我们可以构建如下的插值多项式： $P(x) = L_0(x)y_0 + L_1(x)y_1 + L_2(x)y_2$ 其中，$L_k(x)$ 是拉格朗日基多项式，定义为： $L_k(x) = \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq k}}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$

对于我们的问题，$n = 2$（因为我们有三个点），所以插值多项式 $P(x)$ 可以表示为： $P(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(0 - 1)(0 - 2)} \cdot 2 + \frac{(x - 0)(x - 2)}{(1 - 0)(1 - 2)} \cdot (-2) + \frac{(x - 0)(x - 1)}{(2 - 0)(2 - 1)} \cdot 10$

简化这个表达式，我们得到： $P(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2} \cdot 2 - \frac{(x - 0)(x - 2)}{-1} \cdot (-2) + \frac{(x - 0)(x - 1)}{2} \cdot 10$ $P(x) = (x - 1)(x - 2) - 2(x - 2) + 5(x - 0)(x - 1)$ $P(x) = x^2 - 3x + 2 - 2x + 4 + 5x^2 - 10x$ $P(x) = 6x^2 - 12x + 6$

因此，经过点（0，2），（1，-2），（2，10）的插值多项式 $P(x)$ 是： $P(x) = 6x^2 - 12x + 6$