设X~U(0.1)，样本X1，X，…，X10顺序统计量X(m，X(2)，…，X(10) 则X(3)的密度函数为f3(x)=()

设 $ X \sim U(0, 1) $，样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_{10} $ 的顺序统计量 $ X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(10)} $ 中，$ X_{(3)} $ 的密度函数为 $ f_3(x) $。

📊 顺序统计量的定义与性质

• 顺序统计量的定义：顺序统计量 $ X_{(k)} $ 是指在样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 中第 $ k $ 小的值。对于均匀分布 $ U(0, 1) $，顺序统计量 $ X_{(k)} $ 的密度函数 $ f_k(x) $ 可以通过联合分布函数和边际分布函数推导得出。

• 均匀分布的性质：均匀分布 $ U(0, 1) $ 的概率密度函数为 $ f(x) = 1 $ 对于 $ 0 \leq x \leq 1 $，累积分布函数为 $ F(x) = x $ 对于 $ 0 \leq x \leq 1 $。

📈 推导 $ X_{(3)} $ 的密度函数

• 联合密度函数：对于 $ n $ 个独立同分布的随机变量 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，其联合密度函数为 $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1 $ 对于 $ 0 \leq x_1, x_2, \ldots, x_n \leq 1 $。

• 边际密度函数：顺序统计量 $ X_{(k)} $ 的密度函数 $ f_k(x) $ 可以通过联合密度函数积分得到。具体地，$ X_{(k)} $ 的密度函数为： $ f_k(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} x^{k-1} (1-x)^{n-k} $ 其中 $ n = 10 $ 和 $ k = 3 $。

🧮 计算 $ X_{(3)} $ 的密度函数

• 代入具体值：将 $ n = 10 $ 和 $ k = 3 $ 代入公式，得到： $ f_3(x) = \frac{10!}{(3-1)!(10-3)!} x^{3-1} (1-x)^{10-3} = \frac{10!}{2!7!} x^2 (1-x)^7 $

• 简化表达式：计算组合数 $ \frac{10!}{2!7!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 $，因此： $ f_3(x) = 45 x^2 (1-x)^7 $

📝 结论

$ X_{(3)} $ 的密度函数为 $ f_3(x) = 45 x^2 (1-x)^7 $ 对于 $ 0 \leq x \leq 1 $。