以下表格内数据是实验室内测得的酵母随时间变化的数量关系，请根据提示完成各个步骤的工作。 1. 画出酵母数量随时间变化的散点图。 2. 设 是酵母数量随时间变化的函数，酵母数量满足的微分方程在不同的阶段符合的规律会有差异，试用前0-16小时的数据，若满足的微分方程为 （指数增长） 请设计合理的方法估计参数 ，并求出 ，并解出 ，在散点图上画出该函数对应的曲线。 3. 酵母在发酵过程中，随着底物浓度的降低，酵母的生长符合具有竞争性的阻止增长，请运用数表中所有的数据，试对问题2中的模型进行改进，假设符合的微分方程为 请设计合理的方法估计 ，并求解微分方程的解，并画出曲线。 用matlab做

根据您提供的信息和要求，以下是使用 MATLAB 完成指定任务的步骤：

1. 画出酵母数量随时间变化的散点图

首先，我们需要使用 MATLAB 中的 scatter 函数来绘制酵母数量随时间变化的散点图。假设您已经有了时间 t 和酵母数量 y 的数据，以下是绘制散点图的代码示例：

% 假设 t 和 y 已经定义好了
scatter(t, y, 100, 'filled'); % 100 是点的大小，'filled' 表示填充点
xlabel('时间 (小时)');
ylabel('酵母数量');
title('酵母数量随时间变化的散点图');

2. 设计方法估计参数 $a$ 和 $b$，并解出微分方程 $\frac{dN}{dt} = aN - bN^2$

对于指数增长模型，我们可以使用非线性最小二乘法来估计参数 $a$ 和 $b$。以下是估计参数并解微分方程的步骤：

估计参数

% 假设 t 和 y 已经定义好了
% 使用非线性最小二乘法估计参数
fun = @(p,x) p(1)*exp(p(2)*x);
p0 = [1, 0.1]; % 初始参数猜测
[p,~,mu] = nlinfit(t, y, fun, p0);

% 显示估计的参数
a = p(1);
b = p(2);
disp(['估计的参数 a: ', num2str(a)]);
disp(['估计的参数 b: ', num2str(b)]);

解微分方程

% 使用 ode45 函数解微分方程
[tspan, yfit] = ode45(@(t,N) a*N - b*N.^2, [0 16], y(1)); % 从时间 0 到 16 小时

% 绘制解的曲线
plot(tspan, yfit, 'r-', 'LineWidth', 2); % 'r-' 表示红色线
hold on; % 保持当前图形，以便在同一图形上绘制散点图和曲线
scatter(t, y, 100, 'filled'); % 重新绘制散点图
xlabel('时间 (小时)');
ylabel('酵母数量');
title('酵母数量随时间变化的散点图和指数增长曲线');
legend('指数增长曲线', '数据点');

3. 对模型进行改进，假设符合的微分方程为 $\frac{dN}{dt} = aN - bN^2 - cS$

对于具有竞争性的阻止增长模型，我们需要添加一个新的参数 $c$ 和底物浓度 $S$。假设 $S$ 随时间的变化是已知的，我们可以按照类似步骤来估计参数 $a$, $b$, 和 $c$，并解微分方程。

估计参数

% 假设 S 已经定义好了
fun = @(p,x) p(1)*exp(p(2)*x) - p(3)*S(x);
p0 = [1, 0.1, 0.01]; % 初始参数猜测
[p,~,mu] = nlinfit(t, y, fun, p0);

% 显示估计的参数
a = p(1);
b = p(2);
c = p(3);
disp(['估计的参数 a: ', num2str(a)]);
disp(['估计的参数 b: ', num2str(b)]);
disp(['估计的参数 c: ', num2str(c)]);

解微分方程

% 定义底物浓度 S 随时间的变化
S = @(t) ...; % 这里需要您根据实验数据定义 S(t)

% 使用 ode45 函数解微分方程
[tspan, yfit] = ode45(@(t,N) a*N - b*N.^2 - c*S(t), [0 max(t)], y(1));

% 绘制解的曲线
plot(tspan, yfit, 'g-', 'LineWidth', 2); % 'g-' 表示绿色线
hold on; % 保持当前图形
xlabel('时间 (小时)');
ylabel('酵母数量');
title('酵母数量随时间变化的散点图和改进模型曲线');
legend('改进模型曲线', '数据点');

请注意，上述代码仅为示例，您需要根据实际数据和模型调整参数和函数定义。希望这些步骤