设 f(x) 是定义在区间 [a, b] 上的函数, 对于 x1 = a, ∀x2 ∈ [a, b], t ∈ (0, 1), 都有 f ((1 − t)x1 + tx2) ≥ (1 − t)f(x1) + tf(x2), 试判断 f(x) 是否一定是 [a, b] 上的上凸函数

根据您提供的信息15，我们可以判断函数 $f(x)$ 是否是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数。首先，我们需要了解上凸函数的定义。一个函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上是上凸的，如果对于所有 $x_1, x_2 \in [a, b]$ 以及所有 $t \in [0, 1]$，都有以下不等式成立： $f((1 - t)x_1 + tx_2) \leq (1 - t)f(x_1) + tf(x_2)$

然而，您给出的条件是： $f((1 - t)x_1 + tx_2) \geq (1 - t)f(x_1) + tf(x_2)$

这实际上是下凸函数（也称为凹函数）的定义。下凸函数的性质与上凸函数相反，它表示函数图像在任意两点间的连线上或其上方。因此，根据您给出的条件，$f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，而不是上凸函数。

此外，根据最值定理1，如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则它在该区间上必定存在最大值和最小值。这意味着连续函数在闭区间上是有界的5。然而，这个性质与函数是否为上凸或下凸没有直接关系。

总结来说，根据您给出的条件，$f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，而不是上凸函数。15