已知单调增数列an满足an=m的n-9，n≥10，且an=（九分之二m＋1）×n-21，n＜10，则实数m的取值范围是

根据题目描述，我们需要找到实数$m$的取值范围，使得数列$\{ a_n \}$是单调递增的。首先，我们分析数列在不同$n$值下的定义情况。

对于$n \geq 10$，数列$\{ a_n \}$的定义是$a_n = m^{n-9}$。由于指数函数的单调性，当$m > 1$时，$m^{n-9}$随着$n$的增加而增加，因此这部分是单调递增的1。

对于$n < 10$，数列$\{ a_n \}$的定义是$a_n = \left( \frac{2}{9}m + 1 \right)n - 21$。这是一个线性函数，其斜率为$\frac{2}{9}m + 1$。为了使这部分也是单调递增的，斜率必须大于0，即$\frac{2}{9}m + 1 > 0$。解这个不等式，我们得到$m > -\frac{9}{2}$。

然而，我们还需要确保整个数列在$n \geq 10$和$n < 10$的交界处也是单调递增的。这意味着当$n = 10$时，$a_{10}$必须大于或等于$a_9$。将$n = 10$代入两个公式，我们得到：

• 对于$n = 10$，$a_{10} = m^{10-9} = m$。
• 对于$n = 9$，$a_9 = \left( \frac{2}{9}m + 1 \right)9 - 21$。

我们需要$m \geq \left( \frac{2}{9}m + 1 \right)9 - 21$。解这个不等式，我们可以得到$m$的更精确的取值范围。

综合以上分析，实数$m$的取值范围应该满足两个条件：$m > 1$以保证$n \geq 10$时的单调性，以及$m$需要满足上述不等式以保证在$n = 10$和$n = 9$时的单调性。然而，由于$m > 1$已经隐含了$m > -\frac{9}{2}$，我们只需要考虑$m > 1$的条件。因此，实数$m$的取值范围是$m > 1$。1