已知椭圆 � 1 : � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1 C 1 : a 2 x 2 + b 2 y 2 =1 ( � > � > 0 a>b>0) 的右焦点 � F 与抛物线 � 2 C 2 的焦点重合, � 1 C 1 的中心与 � 2 C 2 的顶点重合。过 � F 且与 � x 轴垂直的直线交 � 1 C 1 于 � A、 � B 两点,交 � 2 C 2 于 � C、 � D 两点,且 ∣ � � ∣ = 4 3 ∣ � � ∣ ∣CD∣= 3 4 ∣AB∣。试求 � 1 C 1 的离心率为多少?
理解问题已知椭圆 � 1 : � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1 C 1 : a 2 x 2 + b 2 y 2 =1 ( � > � > 0 a>b>0) 的右焦点 � F 与抛物线 � 2 C 2 的焦点重合, � 1 C 1 的中心与 � 2 C 2 的顶点重合。过 � F 且与 � x 轴垂直的直线交 � 1 C 1 于 � A、 � B 两点,交 � 2 C 2 于 � C、 � D 两点,且 ∣ � � ∣ = 4 3 ∣ � � ∣ ∣CD∣= 3 4 ∣AB∣。试求 � 1 C 1 的离心率为多少?
已完成理解「已知椭圆 � 1 : � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1 C 1 : a 2 x 2 + b 2 y 2 =1 ( � > � > 0 a>b>0) 的右焦点 � F 与抛物线 � 2 C 2 的焦点重合, � 1 C 1 的中心与 � 2 C 2 的顶点重合。过 � F 且与 � x 轴垂直的直线交 � 1 C 1 于 � A、 � B 两点,交 � 2 C 2 于 � C、 � D 两点,且 ∣ � � ∣ = 4 3 ∣ � � ∣ ∣CD∣= 3 4 ∣AB∣。试求 � 1 C 1 的离心率为多少?」
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根据题目描述,我们需要求解椭圆 $ C_1 $ 的离心率 $ e $。首先,我们需要了解椭圆的基本性质和离心率的定义。
椭圆的离心率 $ e $ 定义为椭圆两焦点间的距离 $ c $ 与长轴长度 $ a $ 的比值,即 $ e = \frac{c}{a} $,其中 $ 0 < e < 1 $ 14。离心率可以用来衡量椭圆形状的独特程度,其中 $ e = 0 $ 代表圆形,$ e = 1 $ 代表扁平的椭圆 2。
题目中给出了椭圆 $ C_1 $ 的标准方程为 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $,其中 $ a > b > 0 $。同时,题目还提到了椭圆 $ C_1 $ 的右焦点 $ F $ 与抛物线 $ C_2 $ 的焦点重合,且椭圆 $ C_1 $ 的中心与抛物线 $ C_2 $ 的顶点重合。
由于 $ F $ 与 $ C_2 $ 的焦点重合,我们可以利用抛物线的焦点性质来求解 $ c $。抛物线的焦点到顶点的距离等于 $ p $,其中 $ p $ 是抛物线参数。由于 $ C_1 $ 的中心与 $ C_2 $ 的顶点重合,我们可以得出 $ c = p $。
接下来,我们需要利用题目中给出的关于线段 $ AB $ 和 $ CD $ 的长度关系来求解 $ a $。题目中提到,过 $ F $ 且与 $ x $ 轴垂直的直线交 $ C_1 $ 于 $ A $、$ B $ 两点,交 $ C_2 $ 于 $ C $、$ D $ 两点,且 $ |CD| = \frac{3}{4}|AB| $。
由于 $ A $、$ B $ 两点在椭圆 $ C_1 $ 上,我们可以利用椭圆的第二定义来求解 $ a $。椭圆的第二定义表明,平面上到定点 $ F $ 的距离与到定直线 $ l $ 的距离之比为常数 $ e $ 的点的轨迹称为椭圆 1。在这里,我们可以将 $ |AB| $ 看作是从 $ F $ 到椭圆上的点 $ A $ 和 $ B $ 的距离之和,而 $ |CD| $ 可以看作是 $ C_2 $ 上的点 $ C $ 和 $ D $ 到 $ F $ 的距离之和。
由于 $ |CD| = \frac{3}{4}|AB| $,我们可以得出 $ |AB| $ 是 $ |CD| $ 的 $ \frac{4}{3} $ 倍。由于 $ C_2 $ 是抛物线,其方程可以表示为 $ y^2 = 4px $,我们可以得出 $ |CD| = 2p $。因此,$ |AB| = \frac{4}{3} \times 2p = \frac{8}{3}p $。
现在我们可以利用 $ |AB| $ 的表达式来求解 $ a $。由于 $ A $ 和 $ B $ 是椭圆 $ C_1 $ 上的点,我们可以得出 $ |AB| = 2a $。因此,$ 2a = \frac{8}{3}p $,即 $ a = \frac{4}{3}p $。
最后,我们可以利用 $ a $ 和 $ c $ 的表达式来求解离心率 $ e $。由于 $ c = p $,我们可以得出 $ e = \frac{c}{a} = \frac{p}{\frac{4}{3}p} = \frac{3}{4} $。
综上所述,椭圆 $ C_1 $ 的离心率为 $ \frac{3}{4} $。