取节点X0=0,x1=1对函数y=e_x作线性插值,用该插值函数计算-0.3和C1的 条件的所有二阶导函数连续的变形近似值,并比较这两个近似值的误差限,比较结果对你有什么启示?
理解问题取节点X0=0,x1=1对函数y=e_x作线性插值,用该插值函数计算-0.3和C1的 条件的所有二阶导函数连续的变形近似值,并比较这两个近似值的误差限,比较结果对你有什么启示?
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取节点 $ x_0 = 0 $ 和 $ x_1 = 1 $ 对函数 $ y = e^x $ 作线性插值，插值函数为： $ L(x) = e^0 \cdot \frac{1-x}{1-0} + e^1 \cdot \frac{x-0}{1-0} = 1 - x + e \cdot x $
计算 $ x = -0.3 $ 和 $ x = 1 $ 的近似值： $ L(-0.3) = 1 - (-0.3) + e \cdot (-0.3) = 1.3 - 0.3e $ $ L(1) = 1 - 1 + e \cdot 1 = e $
误差限计算： 对于 $ x = -0.3 $，误差限为： $ |R(-0.3)| \leq \frac{1}{2} \cdot \max_{0 \leq x \leq 1} |e^x| \cdot (1 - (-0.3)) \cdot (-0.3) = \frac{1}{2} \cdot e \cdot 1.3 \cdot 0.3 = 0.195e $
对于 $ x = 1 $，误差限为： $ |R(1)| \leq \frac{1}{2} \cdot \max_{0 \leq x \leq 1} |e^x| \cdot (1 - 1) \cdot 1 = 0 $
比较结果启示：
线性插值是一种常用的数值方法，用于在已知数据点之间估计未知点的值。对于给定的函数 $ y = e^x $，我们可以使用线性插值来计算在特定点的近似值，并分析其误差限。
线性插值公式
给定两个节点 $ x_0 = 0 $ 和 $ x_1 = 1 $，函数 $ y = e^x $ 在这两个点的值分别为 $ y_0 = e^0 = 1 $ 和 $ y_1 = e^1 = e $。线性插值公式为： $ P_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) $ 代入已知值： $ P_1(x) = 1 + \frac{e - 1}{1 - 0}(x - 0) = 1 + (e - 1)x $
计算近似值
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计算 $ x = -0.3 $ 处的近似值： $ P_1(-0.3) = 1 + (e - 1)(-0.3) = 1 - 0.3(e - 1) $
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计算 $ x = 1 $ 处的近似值： $ P_1(1) = 1 + (e - 1)(1) = e $
误差限分析
线性插值的误差公式为： $ E(x) = \frac{f''(\xi)}{2}(x - x_0)(x - x_1) $ 其中 $ f(x) = e^x $，其二阶导数 $ f''(x) = e^x $，在区间 $ [0, 1] $ 内 $ f''(x) $ 的最大值为 $ e $。
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计算 $ x = -0.3 $ 处的误差限： $ E(-0.3) = \frac{e}{2}(-0.3 - 0)(-0.3 - 1) = \frac{e}{2}(-0.3)(-1.3) = \frac{e}{2} \cdot 0.39 = 0.195e $
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计算 $ x = 1 $ 处的误差限： $ E(1) = \frac{e}{2}(1 - 0)(1 - 1) = 0 $
比较结果及启示
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误差限比较：
- $ x = -0.3 $ 处的误差限为 $ 0.195e $
- $ x = 1 $ 处的误差限为 $ 0 $
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启示：
- 线性插值在已知节点处的误差为零，因为插值函数在该点与原函数完全一致。
- 在远离已知节点的区域（如 $ x = -0.3 $），误差会增大，因为插值函数与原函数的差异变大。
- 误差限的大小与插值点与已知节点之间的距离有关，距离越远，误差越大。
通过比较这两个近似值的误差限，我们可以得出结论：线性插值在已知节点附近效果较好，但在远离节点的区域误差较大。因此，在实际应用中，选择合适的插值节点和方法对于提高近似值的精度至关重要。