\text{令}\lim_{x\to2} (2-x)\tan\biggl(\frac{\pi}{4}x\biggr)=\frac{C}{\pi}, \text{求} C.

• 根据题目要求，首先需要计算给定极限表达式的值。

极限计算

• 变量代换：设 $t = \frac{\pi}{4}x - 1$，则当 $x \to 2$ 时，$t \to 0$。6
• 表达式转换：将原极限表达式中的 $x$ 用 $t$ 表示，得到 $\lim_{t \to 0} (2 - \frac{4}{\pi} - \frac{t}{\pi})\tan(\pi t + 1)$。
• 简化表达式：进一步简化为 $\lim_{t \to 0} (2 - \frac{4}{\pi})\tan(\pi t + 1) - \frac{1}{\pi}\lim_{t \to 0} t\tan(\pi t + 1)$。
• 利用极限性质：由于 $\lim_{t \to 0} \tan(\pi t + 1) = 0$，所以第二项为0。2
• 最终结果：因此，原极限表达式简化为 $\lim_{x \to 2} (2 - \frac{4}{\pi}) = 2 - \frac{4}{\pi}$。

根据上述分析，$C = 2 - \frac{4}{\pi}$。