这是一张数学试卷的图片，上面有四个选择题，每个选择题都有四个选项。题目和选项如下： 1. 函数 \( y = -x^2 + 2x \) 的值域是（ ） A. \([0, +\infty)\) B. \([1, +\infty)\) C. \((- \infty, 1]\) D. \((- \infty, 0]\) 2. 一批产品共有 5 件，其中 4 件为正品，1 件为次品，从中一次取出 2 件均为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 3. 函数 \( f(x) = \sqrt{3x^2 - 1} \) 的定义域为（ ） A. R B. \(\{1\}\) C. \(\{x \mid |x| \leq 1\}\) D. \(\{x \mid |x| \geq 1\}\) 4. 若 \( x < y < 0 \)，则（ ） A. \(\frac{1}{x} < \frac{1}{y}\) B. \(\frac{x}{y} < \frac{1}{x}\) C. \(\frac{x + y}{2} > \sqrt{xy}\) D. \(\frac{y}{x} + \frac{x}{y} > 2\) 请给出答案

函数 $ y = -x^2 + 2x $ 的值域是 $(- \infty, 1]$。12

📊 函数值域的确定方法

• 二次函数的值域分析：对于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其值域的确定主要依赖于其开口方向和顶点。在本题中，函数 $ y = -x^2 + 2x $ 是一个开口向下的抛物线，其顶点为 $ x = -\frac{b}{2a} = 1 $，代入函数得到顶点值 $ y = 1 $。因此，函数的最大值为 1，且随着 $ x $ 的增大或减小，函数值趋向于负无穷。故值域为 $(- \infty, 1]$。1

• 极限法的应用：通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界。对于 $ y = -x^2 + 2x $，当 $ x \to \pm \infty $ 时，函数值 $ y \to -\infty $。结合顶点值 1，可以确定函数的值域为 $(- \infty, 1]$。3

🎲 概率问题的解答

• 概率计算：一批产品共有 5 件，其中 4 件为正品，1 件为次品。从中一次取出 2 件均为正品的概率为 $\frac{\binom{4}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{6}{10} = 0.6$。因此，正确答案为 A。4

📈 函数定义域的确定

• 定义域分析：函数 $ f(x) = \sqrt{3x^2 - 1} $ 的定义域为使得根号内的表达式非负的 $ x $ 值。即 $ 3x^2 - 1 \geq 0 $，解得 $ x^2 \geq \frac{1}{3} $，即 $ |x| \geq \frac{1}{\sqrt{3}} $。因此，定义域为 ${x \mid |x| \geq \frac{1}{\sqrt{3}}}$，正确答案为 D。2

📉 不等式的推理

• 不等式推理：若 $ x < y < 0 $，则 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ 不成立，因为 $ x $ 和 $ y $ 均为负数，倒数后不等号方向不变。$\frac{x}{y} < \frac{1}{x}$ 也不成立，因为 $ x $ 和 $ y $ 均为负数。$\frac{x + y}{2} > \sqrt{xy}$ 成立，因为 $ x $ 和 $ y $ 均为负数，且 $ x + y $ 的绝对值小于 $ 2\sqrt{xy} $。$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} > 2$ 成立，因为 $ x $ 和 $ y $ 均为负数，且 $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} $ 的绝对值大于 2。因此，正确答案为 C。5