【填空题】已知一线性时不变系统,当激励为x(t)时,其完全响应为(3sint-2cost)u(t);当激励信号为2x(t)时,其完全响应为(5sint+cost)u(t),求系统的零状态响应

根据线性时不变系统的性质，当系统对不同的激励信号有响应时，可以通过这些响应来确定系统的系统函数或零状态响应。对于给定的问题，我们有两个条件：

1. 当激励为 $ x(t) $ 时，完全响应为 $ (3\sin t - 2\cos t)u(t) $。
2. 当激励信号为 $ 2x(t) $ 时，完全响应为 $ (5\sin t + \cos t)u(t) $。

根据线性时不变系统的定义，如果系统的激励信号是 $ x(t) $ 的倍数，那么系统的响应也将是相应倍数的响应。因此，我们可以将第二个条件的激励和响应都除以 2，得到当激励为 $ x(t) $ 时的响应为 $ (5\sin t + \cos t)u(t) / 2 $。

现在我们有两个表达式，分别对应于激励 $ x(t) $ 的响应：

• 第一个条件给出的响应是 $ (3\sin t - 2\cos t)u(t) $。
• 调整第二个条件后得到的响应是 $ (5\sin t/2 + \cos t/2)u(t) $。

由于系统是线性的，我们可以将这两个响应相减，以消除 $ u(t) $ 项，并找到对应于单位激励 $ x(t) = 1 $ 的响应，即系统的零状态响应。计算如下：

$ \text{零状态响应} = (3\sin t - 2\cos t)u(t) - (5\sin t/2 + \cos t/2)u(t) $ $ \text{零状态响应} = (3\sin t - 5\sin t/2)u(t) - (2\cos t - \cos t/2)u(t) $ $ \text{零状态响应} = (\frac{6\sin t - 5\sin t}{2})u(t) - (\frac{4\cos t - \cos t}{2})u(t) $ $ \text{零状态响应} = (\sin t)u(t) - (\frac{3\cos t}{2})u(t) $

因此，系统的零状态响应为 $ (\sin t - \frac{3\cos t}{2})u(t) $。23