将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2：1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
理解问题将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2：1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
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接收站收到信息A的概率包括两种情况：原发信息A被正确接收和原发信息B被误收为A。1
原发信息A被正确接收的概率为： $ P(\text{发A收A}) = \frac{2}{3} \times (1 - 0.02) = \frac{2}{3} \times 0.98 = \frac{196}{300} $
原发信息B被误收为A的概率为： $ P(\text{发B收A}) = \frac{1}{3} \times 0.01 = \frac{1}{300} $
因此，接收站收到信息A的总概率为： $ P(\text{收A}) = P(\text{发A收A}) + P(\text{发B收A}) = \frac{196}{300} + \frac{1}{300} = \frac{197}{300} $
原发信息是A的概率为： $ P(\text{原发A|收A}) = \frac{P(\text{发A收A})}{P(\text{收A})} = \frac{\frac{196}{300}}{\frac{197}{300}} = \frac{196}{197} \approx 0.995 $
所以，原发信息是A的概率约为99.5%。1
若接收站收到的信息是A，原发信息是A的概率为0.9804。123
计算过程
- 设定变量：设发送信息A为事件A，发送信息B为事件B，接收信息A为事件C。
- 频率比：信息A与信息B传送的频率程度为2:1，即P(A) = 2/3，P(B) = 1/3。
- 误收概率：A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01。
- 全概率公式：P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) = (1-0.02) * 2/3 + 0.01 * 1/3 = 0.6533。
- 贝叶斯公式：P(A|C) = P(C|A)P(A) / P(C) = (1-0.02) * 2/3 / 0.6533 ≈ 0.9804。456
结果解释
- 高概率：由于A的传送频率高且误收概率低，接收站收到A时，原发信息是A的概率非常高。
- 误差考虑：即使存在误收情况，A被误收作B的概率（0.02）远小于B被误收作A的概率（0.01），进一步提高了原发信息是A的概率。789