若二元函数在一点的任意方向导数都存在，则它们都相等对吗

不，二元函数在一点的任意方向导数都存在并不意味着它们都相等。根据2中的描述，方向导数是按某一方向的单侧导数，而偏导数要求左右导数相等。例如，对于二维函数 $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$，它在原点处的偏导数不存在，但在任意方向上可以求方向导数，有无数个。这表明即使在原点处任意方向的方向导数都存在，它们也不一定相等，因为偏导数在原点处不存在，而方向导数可以有不同的值。

此外，7中提到的例子 $f(x,y) = \begin{cases} x^2 + y^2 - xy, & \text{if } x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & \text{if } x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$ 也说明了即使在 (0,0) 点的两个偏导数都存在，函数在该点的极限也可能不存在。这进一步表明方向导数的存在并不保证它们在所有方向上都相等。

最后，8中指出，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。这意味着方向导数可以是偏导数的合成，并不一定要求它们在所有方向上都相等。因此，即使二元函数在一点的任意方向导数都存在，它们也不一定相等。8