16 ax+by=16 3 x + 2 y = 64 3x+2y=64 In the given system of equations, a a and b b are constants. If the system has infinitely many solutions, what is the value of a b ab?

给定的方程组为： $ax + by = 16$ $3x + 2y = 64$

如果这个方程组有无穷多解，那么根据线性代数的知识，这意味着两个方程是线性相关的，即它们可以表示为彼此的倍数。换句话说，第一个方程可以写成第二个方程的某个倍数加上或减去某个常数。我们可以通过比较两个方程的系数来找出这个关系。

首先，我们可以将第二个方程的系数除以3，得到： $x + \frac{2}{3}y = \frac{64}{3}$

现在，如果第一个方程有无穷多解，那么它必须能够表示为第二个方程的线性组合。这意味着 $a$ 和 $b$ 必须满足以下条件： $a = 3$ $b = 2$

这样，第一个方程就可以写成： $3x + 2y = 16$

这与第二个方程相同，只是常数项不同。由于我们要找的是无穷多解的情况，我们可以将两个方程设置为相等，然后解出 $x$ 和 $y$ 的关系。将两个方程设置为相等，我们得到： $ax + by = 3x + 2y$

由于 $a = 3$ 和 $b = 2$，我们有： $3x + 2y = 3x + 2y$

这显然是一个恒等式，说明两个方程是线性相关的。因此，如果方程组有无穷多解，$a$ 和 $b$ 的值必须满足 $a = 3$ 和 $b = 2$。所以，$a$ 和 $b$ 的乘积 $ab$ 为： $ab = 3 \times 2 = 6$