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矩阵乘以它的广义逆

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理解问题矩阵乘以它的广义逆

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矩阵乘以它的广义逆

  • 广义逆矩阵定义:如果存在一个矩阵 $ \boldsymbol{X} $ 满足 $ \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} $,$ \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{X} $,$ \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} $ 是满秩的,$ \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} $ 是左可逆的,则称 $ \boldsymbol{X} $ 为矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 的广义逆矩阵。56

  • 性质:当矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 为满秩方阵时,其广义逆矩阵就是其逆矩阵 $ \boldsymbol{A}^{-1} $。对于不满秩的矩阵,广义逆矩阵提供了一种解决线性方程组的方法。34

  • 计算方法:广义逆矩阵的计算可以通过将矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 经过初等变换成左上角矩阵,然后求左上角矩阵的逆来实现。2

  • 应用:广义逆矩阵在处理线性方程组 $ \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} $ 中,当 $ \boldsymbol{A} $ 不可逆时,提供了一种解决方案。4

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