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3个月前
矩阵乘以它的广义逆
理解问题矩阵乘以它的广义逆
已完成理解「矩阵乘以它的广义逆」
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矩阵乘以它的广义逆
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广义逆矩阵定义：如果存在一个矩阵 $ \boldsymbol{X} $ 满足 $ \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} $，$ \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{X} $，$ \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} $ 是满秩的，$ \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} $ 是左可逆的，则称 $ \boldsymbol{X} $ 为矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 的广义逆矩阵。56
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性质：当矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 为满秩方阵时，其广义逆矩阵就是其逆矩阵 $ \boldsymbol{A}^{-1} $。对于不满秩的矩阵，广义逆矩阵提供了一种解决线性方程组的方法。34
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计算方法：广义逆矩阵的计算可以通过将矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 经过初等变换成左上角矩阵，然后求左上角矩阵的逆来实现。2
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应用：广义逆矩阵在处理线性方程组 $ \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} $ 中，当 $ \boldsymbol{A} $ 不可逆时，提供了一种解决方案。4