设$n\geqslant2,x_1,x_2,\ldots,x_n$为实数，且$$\sum_{i = 1}^nx_i^2+\sum_{i = 1}^{n - 1}x_ix_{i + 1}=1.$$对于每一个固定的自然数$k(1\leqslant k\leqslant n)$，求$|x_k|$的最大值。

在给定的条件下，我们的目标是找到对于每一个固定的自然数 $ k $，$ |x_k| $ 的最大值。根据题目所给条件，我们有：

$ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1} = 1 $

😊问题分析与关键点

问题分解：

1. 首先，我们需要理解给定条件的数学含义，即所有 $ x_i $ 的平方和加上相邻 $ x_i $ 乘积的和等于1。
2. 其次，我们要找到 $ |x_k| $ 的最大值，这意味着我们需要考虑 $ x_k $ 单独的值以及它与其他 $ x_i $ 的关系。
3. 接下来，我们可以通过数学变换和不等式来找到 $ |x_k| $ 的上界。

关键点：

• 数学变换：利用给定条件进行数学变换，找到 $ |x_k| $ 的表达式。
• 不等式应用：应用柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）来找到 $ |x_k| $ 的上界。
• 边界条件：考虑 $ x_i $ 的边界条件，即它们都是实数。
• 最优化问题：将问题转化为一个最优化问题，找到在给定条件下 $ |x_k| $ 的最大可能值。

😊数学变换与不等式应用

数学变换： 给定条件可以重写为：

$ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1} = 1 $

我们可以将这个表达式看作是向量 $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) $ 的二次型。

不等式应用： 根据柯西-施瓦茨不等式，对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，我们有：

$ (\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2) $

如果我们令 $ a_i = x_i $ 且 $ b_i = 1 $ 对于所有的 $ i $，那么我们可以得到 $ |x_k| $ 的一个上界。

😊边界条件与最优化问题

边界条件： 由于 $ x_i $ 是实数，我们知道 $ x_i^2 \geq 0 $ 对于所有的 $ i $。这意味着 $ x_i $ 的值没有下界，但有上界。

最优化问题： 我们需要最大化 $ |x_k| $，这可以通过考虑 $ x_i $ 值的分布来实现。一种方法是将所有 $ x_i $ 的值（除了 $ x_k $）设置为0，然后解出 $ x_k $ 的值。然而，这样做可能不会给我们最大的 $ |x_k| $，因为 $ x_i x_{i+1} $ 项可能会对总和产生影响。

😊解决方案与操作步骤

为了找到 $ |x_k| $ 的最大值，我们可以采取以下步骤：

1. 设置 $ x_i = 0 $ 对于所有 $ i \neq k $：这将简化问题，使我们能够专注于 $ x_k $ 的值。
2. 解出 $ x_k $：在这种设置下，给定条件变为 $ x_k^2 = 1 $，因此 $ x_k = \pm 1 $。
3. 考虑 $ x_i x_{i+1} $ 项的影响：如果 $ x_i $ 和 $ x_{i+1} $ 不为0，它们可能会限制 $ |x_k| $ 的值。我们需要找到一种平衡，使得 $ x_k $ 尽可能大，同时满足给定条件。
4. 使用拉格朗日乘数法：这是一种寻找受约束的函数最大值或最小值的方法。我们可以定义一个拉格朗日函数，包括给定条件作为约束，然后找到 $ |x_k| $ 的最大值。

通过这些步骤，我们可以系统地找到在给定条件下 $ |x_k| $ 的最大值。这种方法不仅提供了一个