为什么用待定系数法求出的一元多项式唯一？

待定系数法求出的一元多项式唯一，是因为该方法基于多项式恒等式的性质和复数域上多项式分解的唯一性。12

😊多项式恒等式的性质

• 恒等式性质：多项式恒等式是指对所有变量值都成立的等式。如果两个多项式对所有变量值都相等，那么它们对应的系数也必须相等。这意味着，如果通过待定系数法设定的多项式与给定的多项式是恒等的，那么它们之间同类项的系数必须完全一致。1

😊复数域上多项式分解的唯一性

• 唯一性分解：在复数域上，任意一个次数大于等于1的复系数多项式都可以唯一地分解成一次因式的乘积。这一性质保证了，无论通过何种方法分解多项式，最终得到的因式分解形式是唯一的。因此，使用待定系数法求得的多项式，其分解结果必然与这一唯一分解相匹配。2

😊待定系数法的解题步骤

• 解题步骤：待定系数法的解题步骤包括确定含待定系数的一般解析式，根据恒等条件列出含待定系数的方程，解方程或消去待定系数。这一过程实际上是在寻找满足特定条件的唯一系数集合，从而确保了求得的多项式是唯一的。1

😊待定系数法的应用范围

• 应用范围：待定系数法不仅用于因式分解，还可以确定方程系数、解决应用问题等。其在数学教育中的广泛应用，从初中到大学课程中都有涉及，进一步说明了该方法的普适性和求解结果的唯一性。8

😊待定系数法的数学意义

• 数学意义：待定系数法的数学意义在于，它提供了一种系统的方法来处理和解决多项式相关的问题。通过设定待定系数并求解，我们能够找到满足特定条件的多项式，这一过程的严谨性保证了所得结果的唯一性。7

综上所述，待定系数法求出的一元多项式之所以唯一，是因为该方法基于多项式恒等式的性质和复数域上多项式分解的唯一性，以及其严谨的解题步骤和广泛的应用范围。这些因素共同确保了通过待定系数法得到的多项式是唯一的。