第51题 设随机变量X~N(1，4)，则P(0<X≤)2为:单选题 A:1-2Ф(0.5) B:2Ф(0.5)-1 C:2u0.5-1 D:1-2u0.5

设随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(1, 4) $，我们需要计算 $ P(0 < X \leq 2) $。6

📊 正态分布的基本性质

• 正态分布的标准化：对于正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，可以通过标准化变换 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ 将其转换为标准正态分布 $ N(0, 1) $。6
• 累积分布函数：标准正态分布的累积分布函数通常记为 $ \Phi(z) $，表示 $ P(Z \leq z) $。6

🧮 计算步骤

1. 标准化变换：将 $ X $ 转换为标准正态变量 $ Z $。 $ Z = \frac{X - 1}{2} $
2. 确定区间：我们需要计算 $ P(0 < X \leq 2) $，即： $ P\left(0 < X \leq 2\right) = P\left(\frac{0 - 1}{2} < Z \leq \frac{2 - 1}{2}\right) = P\left(-\frac{1}{2} < Z \leq \frac{1}{2}\right) $
3. 使用累积分布函数： $ P\left(-\frac{1}{2} < Z \leq \frac{1}{2}\right) = \Phi\left(\frac{1}{2}\right) - \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) $ 由于标准正态分布的对称性，$ \Phi(-z) = 1 - \Phi(z) $，所以： $ \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right) $ 因此： $ P\left(-\frac{1}{2} < Z \leq \frac{1}{2}\right) = \Phi\left(\frac{1}{2}\right) - \left(1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right)\right) = 2\Phi\left(\frac{1}{2}\right) - 1 $

📝 结论

根据上述推导，正确答案是 $ B $： $ P(0 < X \leq 2) = 2\Phi\left(\frac{1}{2}\right) - 1 $