某场生产甲和乙两种型号的洗衣液。生产甲种洗衣液每千克的平均生产时间为3小时，利润是100元。生产乙种洗衣液每千克的平均生产时间为2小时，利润是80元。该厂每周生产时间为120小时，但可以加班48小时。加班生产甲种洗衣液每千克的利润是90元，生产乙种洗衣液每千克的利润是70元。某个公司需要购买甲乙两种洗衣液各20千克和30千克以上。请问应如何安排每周的生产计划，在尽量满足公司需求的条件下使得利润最大。分析出解决问题的关键所在

要解决这个问题，我们需要考虑生产时间、利润和需求三个因素，以最大化利润。首先，我们来分析每种洗衣液的生产效率和利润。

生产效率和利润分析

1. 甲种洗衣液：

   • 标准生产时间：3小时/千克
   • 标准利润：100元/千克
   • 加班生产利润：90元/千克

2. 乙种洗衣液：

   • 标准生产时间：2小时/千克
   • 标准利润：80元/千克
   • 加班生产利润：70元/千克

总生产时间和需求

• 每周标准生产时间：120小时
• 每周加班时间：48小时
• 公司需求：甲种洗衣液至少20千克，乙种洗衣液至少30千克

利润最大化策略

为了最大化利润，我们需要优先考虑利润率较高的洗衣液。根据给定信息，甲种洗衣液的标准利润和加班利润都高于乙种洗衣液。因此，我们应该首先满足甲种洗衣液的生产。

生产计划安排

1. 甲种洗衣液：

   • 首先使用标准生产时间生产甲种洗衣液，直到达到公司需求的20千克。这需要 $20 \times 3 = 60$ 小时。
   • 如果还有剩余的标准生产时间（$120 - 60 = 60$ 小时），可以继续生产甲种洗衣液，直到标准生产时间用完。

2. 乙种洗衣液：

   • 使用剩余的标准生产时间生产乙种洗衣液，直到达到公司需求的30千克。这需要 $30 \times 2 = 60$ 小时。但由于标准生产时间已经用于甲种洗衣液，我们需要使用加班时间来满足乙种洗衣液的需求。

3. 加班生产：

   • 使用加班时间首先完成甲种洗衣液的生产，如果标准生产时间已经足够生产20千克甲种洗衣液，则剩余的加班时间用于生产乙种洗衣液。

利润计算

• 甲种洗衣液：如果全部使用标准生产时间，则利润为 $20 \times 100 = 2000$ 元。如果需要加班，则加班部分的利润为 $(20 - 标准生产时间内生产的千克数) \times 90$ 元。
• 乙种洗衣液：由于标准生产时间已用于甲种洗衣液，全部使用加班时间生产，利润为 $30 \times 70 = 2100$ 元。

结论

根据上述分析，解决问题的关键在于优先满足甲种洗衣液的生产，以获取更高的利润率。如果标准生产时间足够生产20千克甲种洗衣液，剩余时间用于生产乙种洗衣液。如果标准生产时间不足以生产20千克甲种洗衣液，则需要使用加班时间完成甲种洗衣液的生产，然后再使用剩余加班时间生产乙种洗衣液。这样安排可以确保在满足公司需求的同时，实现利润最大化。123