某批次产品有不良率4%。请用泊松分布计算，当随机抽样50件时，其结果不能反映该批产品的真实质量情况的概率?[单选题]A：0.27 B：0.73 C：0.82 D：0.67

在给定的不良率为4%的情况下，随机抽样50件产品，计算其结果不能反映该批产品的真实质量情况的概率，可以通过泊松分布来进行估算。泊松分布适用于描述在固定时间或空间间隔内发生特定事件的次数，特别是在事件发生的概率较低且样本量较大的情况下。

泊松分布的基本原理

泊松分布的概率质量函数为： $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ 其中，$\lambda$ 是单位时间或空间内事件发生的平均次数，$k$ 是事件发生的次数，$e$ 是自然对数的底数。

计算步骤

1. 确定参数 $\lambda$： 不良率为4%，即每件产品不良的概率为0.04。抽样50件产品，期望的不良品数为： $ \lambda = 50 \times 0.04 = 2 $

2. 计算概率： 我们需要计算抽样50件产品中不良品数与期望值（2件）有显著差异的概率。假设显著差异为不良品数偏离期望值1件以上，即不良品数为1件或3件及以上。

   • 不良品数为1件的概率： $ P(X = 1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2} \approx 0.2707 $

   • 不良品数为3件及以上的概率： 由于泊松分布的对称性，不良品数为3件及以上的概率可以通过计算不良品数为0件和1件的概率之和，然后用1减去这个和： $ P(X = 0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353 $ $ P(X \geq 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) = 1 - (0.1353 + 0.2707) = 1 - 0.4060 = 0.5940 $

3. 计算不能反映真实质量情况的概率： 不能反映真实质量情况的概率为不良品数为1件或3件及以上的概率之和： $ P(\text{不能反映}) = P(X = 1) + P(X \geq 3) = 0.2707 + 0.5940 = 0.8647 $

结论

根据计算结果，当随机抽样50件产品时，其结果不能反映该批产品的真实质量情况的概率约为0.8647。因此，正确答案是C：0.82。

参考文献

• 1(https://purecalculators.com/zh-CN/poisson-distribution-calculator)
• 2(https://zhuanlan.zhihu.com/p/151773692)
• 3(https://blog.csdn.net/qq_42692386/article/details/125916391)
• 4(https://zhuanlan.zhihu.com/p/623446041)
• 5(https://www.formulas.today/zh/%E5%85%AC%E5%BC%8F/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83/)
• 6(https://www.osgeo.cn/app/sb131)
• 7(https://reference.wolfram.com/language/ref/PoissonDistribution.html.zh?source=footer)
• 8(https://zhuanlan.zhihu.com/p/659057712)
• 9(https://wenku.csdn.net/column/26qaa1xqgx)
• 10(https://blog.csdn.net/xian__xian/article/details/112261123)