怎么证明一个点在函数上是可导的

函数可导性证明方法

• 定义与连续性：首先判断函数在点 $x_0$ 是否有定义，即 $f(x_0)$ 是否存在；其次判断 $f(x_0)$ 是否连续，即 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$, $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, 和 $f(x_0)$ 三者是否相等。1
• 左导数与右导数：证明函数在 $x$ 处可导，可以通过证明其左导数与右导数相等来实现。例如，对于函数 $f(x) = |x|$，在 $x = 0$ 处的左导数为 1，右导数也为 1，因此函数在该点可导。23
• 绝对值函数：对于含绝对值的函数，其可导性是高等数学中的重要考点。通常通过分析绝对值函数在特定点的导数是否存在以及是否相等来判断其可导性。4

证明一个点在函数上是可导的，需要综合考虑函数在该点的定义、连续性以及左右导数的相等性。