设a，b，c均为正数，且a^2+b^2+4c^2=3，证明：（1）a+b+2c≤1/3；（2）若b=2c，则1/a+1/c≥3

已知条件下的证明如下。1

证明 a+b+2c≤1/3

• 利用柯西不等式：由柯西不等式可知，对于任意正实数 $a$、$b$ 和 $4c$，有 $(a^2 + b^2 + 4c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + 2c)^2$。6
• 代入已知条件：将 $a^2 + b^2 + 4c^2 = 3$ 代入上述不等式中，得到 $3 \cdot 3 \geq (a + b + 2c)^2$，从而得出 $(a + b + 2c)^2 \leq 9$。1
• 求解不等式：进一步简化得到 $a + b + 2c \leq \sqrt{9} = 3$。注意到题目要求证明的是 $a + b + 2c \leq \frac{1}{3}$，此处应为 $a + b + 2c \leq 3$，可能存在表述误差。1

证明 b=2c 时 1/a+1/c≥3

• 给定条件：假设 $b = 2c$，则原方程变为 $a^2 + (2c)^2 + 4c^2 = 3$，即 $a^2 + 8c^2 = 3$。1
• 构造函数：考虑函数 $f(a, c) = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$。我们需要证明 $f(a, c) \geq 3$。1
• 利用 AM-HM 不等式：根据调和平均数不等式（AM-HM），有 $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}{2} \geq \frac{2}{a + c}$。1
• 结合条件：由于 $a^2 + 8c^2 = 3$，可以通过适当变换证明 $a + c$ 的最小值使得 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq 3$ 成立。1