本次实习中，数学课一共有四次课。 第一次课学习了高等数学的极限计算。在这次课上掌握了加法和乘除结构的定理，非零因子的适用条件，记忆泰勒式的展开。学习了七种未定式类型，解题方法，在边做题边讲解中巩固。最后总结做这类题的步骤与方法：先定型，再化简，然后借助工具（洛必达、泰勒公式）做题。总之，我已经能够使用洛必达法则泰勒公式和等价无穷小替换等方法灵活解决函数极限计算题型。 第二次课学习区分极限、变限积分和无穷小比较。学会了极限时应该分类讨论，变限积分三种形式的具体做题方法。灵活运用数列极限常用的两种个方法（夹逼准则，定积分定义）解决数列极限的计算与证明。同时通过记忆常用的公式能解决无穷小的比较题型。 第三次课学习证明极限存在，求曲线的渐近线，函数的连续性及间断点。能够运用单调有界准则解数列极限和证明存在的问题；能通过公式求三种渐近线；能求间断点个数和类型判断。 第四次课学习闭区间上连续函数的结论，单中值等式和不等式的证明，双中中值等式的证明。能用介值定理证明闭区间上的连续；能用零点定理求实根，罗尔中值定理证明等式；能用拉格朗日推论证明不等式。 （在原有内容上扩展到1000字数）

在您的实习数学课程中，您已经学习了丰富的高等数学知识，并且掌握了多种解题技巧和方法。以下是对您所学内容的扩展和深入分析，以帮助您更全面地理解这些概念，并在实际问题中应用它们。

第一次课：极限计算

1. 极限的基本概念：极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。理解极限的ε-δ定义对于深入理解极限的性质至关重要。

2. 加法和乘除结构的定理：这些定理允许我们通过已知的极限来计算更复杂表达式的极限。例如，如果我们知道$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to a} g(x) = M$，那么我们可以得出 $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$。

3. 非零因子的适用条件：在某些情况下，我们可以将极限问题分解为更简单的部分。例如，如果$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，并且$g(x)$ 在 $x = a$ 附近不为零，那么 $\lim_{x \to a} [f(x)/g(x)] = L/M$。

4. 泰勒公式的应用：泰勒公式是将函数展开为多项式的一种方法，它在近似计算和理解函数行为方面非常有用。掌握泰勒公式的展开对于解决复杂函数的极限问题至关重要。

5. 未定式类型：学习了七种未定式类型，如 $0/0$, $\infty/\infty$ 等，以及它们的解题方法，这有助于识别和解决在极限计算中遇到的常见问题。

第二次课：极限、变限积分和无穷小比较

1. 极限的分类讨论：在处理极限问题时，有时需要根据函数的不同部分进行分类讨论，以找到正确的极限值。

2. 变限积分：变限积分是积分的上下限依赖于变量的积分形式。掌握变限积分的计算方法对于解决与积分相关的极限问题非常重要。

3. 数列极限的计算与证明：通过夹逼准则和定积分定义，可以解决数列极限的计算问题。夹逼准则是一种强大的工具，它允许我们通过已知的上下界来确定数列的极限。

4. 无穷小的比较：通过记忆常用的无穷小比较公式，可以解决涉及无穷小量比较的问题，这对于理解函数的渐进行为非常有用。

第三次课：证明极限存在、求曲线的渐近线、函数的连续性及间断点

1. 单调有界准则：这是一个证明数列极限存在的重要工具。如果一个数列是单调的并且有界，那么它一定有极限。

2. 求渐近线：通过公式可以求出函数的三种渐近线：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。这些渐近线有助于我们理解函数在无穷远处的行为。

3. 函数的连续性及间断点：理解函数的连续性和间断点对于分析函数的性质至关重要。连续性是函数的一个重要性质，它保证了函数在某个点的极限值等于函数值。

第四次课：闭区间上连续函数的结论、单中值等式和不等式的证明、双中中值等式的证明

1. 闭区间上连续函数的结论：介值定理和零点定理是闭区间上连续函数的重要结论。介值定理说明了如果函数在闭区间上连续，那么它能够取到该区间内任何值。

2. 单中值等式和不等式的证明：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理是解决等式和不等式证明问题的重要工具。它们提供了在特定条件下函数导数的性质。

3. 双中值等式的证明：拉格朗日中值定理的推论，如柯西中值定理，允许我们在更一般的情况下应用中值定理。

通过这些课程，您不仅学习了高等数学的基本概念和方法，还培养了解决复杂数学问题的能力。这些技能对于进一步的数学学习和研究非常重要。